Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. (Une réponse correcte = 2pts, aucune réponse, plus d'une réponse ou une réponse fausse = 0pts) Pour $n \in \mathbb{N}$, soit $S_n = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} + \cdots + \frac{n}{n^2+n}$. À l'aide d'un encadrement de $S_n$, choisir la bonne réponse.

$(S_n)$ est convergente et $\lim_{n \to +\infty} S_n = 0$

$(S_n)$ est convergente et $\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{1}{2}$

$(S_n)$ est convergente et $\lim_{n \to +\infty} S_n = 1$

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. (Une réponse correcte = 2pts, aucune réponse, plus d'une réponse ou une réponse fausse = 0pts) Soit $f(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} - \frac{xe^x}{1+e^x}$. La courbe représentative $C_f$ de $f$ admet en $+\infty$ :

une asymptote oblique d'équation $y = -x$

une asymptote oblique d'équation $y = x$

une branche parabolique de direction asymptotique la droite d'équation $y = -x$

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. (Une réponse correcte = 2pts, aucune réponse, plus d'une réponse ou une réponse fausse = 0pts) Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = -\frac{x}{1-e^x}$ si $x \neq 0$ et $g(0) = 0$, et soit $C_g$ la courbe représentative de $g$. Choisir la bonne réponse.

$C_g$ admet une demi-tangente oblique à l'origine

$C_g$ admet une tangente horizontale à l'origine

$C_g$ admet une tangente verticale à l'origine

$g$ est non bornée au voisinage de 0

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. (Une réponse correcte = 2pts, aucune réponse, plus d'une réponse ou une réponse fausse = 0pts) Soit $\begin{cases} u_0 = \frac{1}{2} \\ u_{n+1} = u_n^2 + \frac{3}{16} \end{cases}$, $\forall n \geq 0$. Sachant que la suite $(u_n)_n$ est décroissante, choisir la bonne réponse :

$\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{3}{4}$

$\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{4}{3}$

$\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{4}$

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. (Une réponse correcte = 2pts, aucune réponse, plus d'une réponse ou une réponse fausse = 0pts) Pour $n \in \mathbb{N}$, soit $I_n = \int_0^1 (1-t)^n e^{-nt} \, dt$. Choisir la bonne réponse.

$\lim_{n \to +\infty} I_n = \frac{1}{e}$

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. (Une réponse correcte = 2pts, aucune réponse, plus d'une réponse ou une réponse fausse = 0pts) Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ telle que $f(2021x + 2022) \leq 2021x \leq f(2021x) + 2022$. Choisir la bonne réponse.

$f$ est un polynôme de degré 2 et $f(2021) \geq -1$

$f$ est un polynôme de degré 1

$f$ est un polynôme de degré 2 et $f(2022) \leq 0$

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. (Une réponse correcte = 2pts, aucune réponse, plus d'une réponse ou une réponse fausse = 0pts) Soit $a, b, c \in \mathbb{Z}$ tels que $a^3 + b^3 + c^3$ est divisible par 3, et soit $S = a + b + c$. Sachant que, pour tout $n \in \mathbb{Z}$, le nombre 3 divise $n^3 - n$, choisir la bonne réponse.

$S$ et 3 sont premiers entre eux

le reste de la division euclidienne de $S$ par 3 est 2

Pour chaque question qui suit, écrire la réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. (Chaque réponse est notée sur 2pts) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectivement $a = -\sqrt{3} + i$ et $b = i\bar{a}$. Soit $C$ l'image de $A$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ et soit $c$ l'affixe du point $C$. Donner la forme trigonométrique du nombre complexe $Z = \frac{b}{c}$ et déduire la nature du triangle $OBC$.

$Z = e^(iπ/2), |Z|=1, arg(Z)=π/2. Triangle OBC isocèle rectangle en O.$

Pour chaque question qui suit, écrire la réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. (Chaque réponse est notée sur 2pts) Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A(\sqrt{2}, -1, 2)$, $B(3, -\sqrt{3}, 1)$, $C(1, -2, -1)$ et la sphère $\mathcal{S}$ d'équation cartésienne $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 2z + 1 = 0$. Déterminer l'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et le plan $(ABC)$.

Cercle de centre C(1,-4,-1) et de rayon √5 dans le plan (ABC)

Cercle de centre C(1,+2,-1) et de rayon √5 dans le plan (ABC)

$Cercle de centre C(1,-2,-1) et de rayon √5 dans le plan (ABC)$

Pour chaque question qui suit, écrire la réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. (Chaque réponse est notée sur 2pts) On considère l'équation différentielle $(E) : y'' - 4y' + 4y = (x - 2)e^x$. Sachant que la fonction $x \mapsto xe^x$ est une solution de $(E)$, déterminer la solution particulière $y_0$ de $(E)$ telle que sa courbe représentative passe par le point $A(0, -2)$ et ayant une tangente en $A$ parallèle à l'axe des abscisses.

y₀(x) = (-2 + 3x)e^(2x) + xe^x

y₀(x) = (-2 - 3x)e^(2x) + xe^x

y₀(x) = (-2 + 6x)e^(2x) + xe^x

y₀(x) = (-4 + 3x)e^(2x) + xe^x

y₀(x) = (+2 + 3x)e^(2x) + xe^x

ENSAM Mathématiques 2022 - Question 22 of 25

Pour chaque question qui suit, écrire la réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. (Chaque réponse est notée sur 2pts)

\nDans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct

(O, u, v)

, on considère les points

A

B

d'affixes respectivement

a = - 3 + i

b = i bar a

. Soit

C

l'image de

A

par la rotation de centre

O

et d'angle

\frac{π}{3}

et soit

c

l'affixe du point

C

. Donner la forme trigonométrique du nombre complexe

Z = \frac{b}{c}

et déduire la nature du triangle

O B C

1

B. Z = e^(iπ/4), |Z|=1, arg(Z)=π/2. Triangle OBC isocèle rectangle en O.

0

Z = e^{(} iπ /2), ∣ Z ∣ = 1, a r g (Z) = π /2. T r ian g l e O B C i soc \overset{e}{ˋ} l er ec t an g l ee n O .

- 1