Électricité (QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse). Les exercices 1 et 2 sont indépendants. Données : $I_P = 500 \, mA$ L'expression de $U_B$ en fonction de $i_1(t)$, $r$ et $L$ est :

$U_B = ri_1(t) - L\frac{di_1}{dt}$

$U_B = ri_1(t) + L\frac{di_1}{dt}$

Électricité (QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse). Les exercices 1 et 2 sont indépendants. Données : $I_P = 500 \, mA$ La valeur de la tension $U_B$ (en V) aux bornes des conducteurs ohmiques à $t = \tau$ est :

$U_R(\tau) = 2R \cdot I_P(1 + e^{-1}) \approx 2 \times 15 \times 0{,}5 \times 0{,}632 \approx 9{,}48 \text{ V}$

$U_R(\tau) = 2R \cdot I_P(1 - e^{-1}) \approx 2 \times 15 \times 0{,}5 \times 0{,}662 \approx 9{,}48 \text{ V}$

$U_R(\tau) = 4R \cdot I_P(1 - e^{-1}) \approx 2 \times 15 \times 0{,}5 \times 0{,}632 \approx 9{,}48 \text{ V}$

$U_R(\tau) = 2R \cdot I_P(1 - e^{1}) \approx 2 \times 15 \times 0{,}5 \times 0{,}632 \approx 9{,}48 \text{ V}$

$U_R(\tau) = 2R \cdot I_P(1 - e^{-1}) \approx 2 \times 15 \times 0{,}5 \times 0{,}632 \approx 9{,}48 \text{ V}$

Électricité (QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse). Les exercices 1 et 2 sont indépendants. Données : $I_P = 500 \, mA$ La valeur de la tension $U_B$ (en V) à $t = \tau$ est environ :

$U_B(\tau) \approx 16 \text{ V}$

$U_B(\tau) \approx 13 \text{ V}$

Électricité (QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse). Les exercices 1 et 2 sont indépendants. Données : $I_P = 500 \, mA$ À un instant $t_1$, $U_B = U_R$. L'expression de $t_1$ est :

$t_1 = \tau \ln\left(\frac{4(E - rI_P)}{E}\right)$ ou $t_1 = \tau \ln 2$ selon la définition de $U_R$

$t_1 = \tau \ln\left(\frac{2(E - rI_P)}{E}\right)$ ou $t_1 = \tau \ln 2$ selon la définition de $U_R$

$t_1 = \tau \ln\left(\frac{2(E + rI_P)}{E}\right)$ ou $t_1 = \tau \ln 2$ selon la définition de $U_R$

Électricité (QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse). Les exercices 1 et 2 sont indépendants. Données : $I_P = 500 \, mA$ La valeur de $t_1$ (en ms) est :

$t_1 \approx 4{,}16 \text{ ms}$

Électricité (QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse). Les exercices 1 et 2 sont indépendants. Données : $I_P = 500 \, mA$ L'équation différentielle qui régit l'évolution de la tension $U_C$ aux bornes des condensateurs en fonction du temps est la suivante : $\alpha \frac{d^2 U_C}{dt^2} + U_C(t) = \beta$. L'expression du couple $(\alpha, \beta)$ est :

$(\alpha, \beta) = (LC, 0)$ ou $(\alpha, \beta) = (2LC, 0)$ selon le montage des condensateurs

$(\alpha, \beta) = (LC, 0)$ ou $(\alpha, \beta) = (4LC, 0)$ selon le montage des condensateurs

Électricité (QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse). Les exercices 1 et 2 sont indépendants. Données : $I_P = 500 \, mA$ Sachant que la période propre $T_0$ des oscillations électriques vaut $T_0 = 1,33 \, ms$, la capacité $C$ (en $\mu F$) des condensateurs vaut environ :

$C \approx 0{,}33 \text{ } \mu F$ (si $C_{eq} = 2C$) ou $C \approx 1{,}32 \text{ } \mu F$ (si $C_{eq} = C/2$)

$C \approx 0{,}63 \text{ } \mu F$ (si $C_{eq} = 2C$) ou $C \approx 1{,}32 \text{ } \mu F$ (si $C_{eq} = C/2$)

$C \approx 0{,}33 \text{ } \mu F$ (si $C_{eq} = 4C$) ou $C \approx 1{,}32 \text{ } \mu F$ (si $C_{eq} = C/2$)

Électricité (QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse). Les exercices 1 et 2 sont indépendants. Données : $I_P = 500 \, mA$ L'expression de la résistance $r$ de la bobine est :

$r = -\frac{p}{I_P^4} = \frac{|p|}{I_P^2}$

$r = +\frac{p}{I_P^2} = \frac{|p|}{I_P^2}$

$r = -\frac{p}{I_P^2} = \frac{|p|}{I_P^2}$

Une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ est placée en série dans un circuit comprenant un condensateur de capacité $C = 390 \, \mu F$ et un générateur (GBF) délivrant une tension alternative sinusoïdale : $u_G = 30 \sin(100\pi t)$, $u_G$ en V et $t$ en s (Figure 4). Le circuit est alors traversé par un courant alternatif sinusoïdal d'intensité : $i(t) = I_m \cos(100\pi t + \varphi)$, $I_m$ en A et $\varphi$ en rad. Un oscilloscope numérique connecté au circuit permet de visualiser sur la voie $Y_A$ la tension $u_G = u_{AM}$ et sur la voie $Y_B$ la tension $u_C = u_{BM}$ (Figure 5). Sur l'écran de l'oscilloscope, les oscillogrammes de la Figure 5 sont observés. Données : $C = 390 \, \mu F$ ; $u_G = 30 \sin(100\pi t)$ ; $i(t) = I_m \cos(100\pi t + \varphi)$ ; $\tau = 3,7 \, ms$ L'expression de la tension $u_C$ en fonction du temps est (en V) :

$u_C(t) = 20\sin\left(100\pi t + \frac{\pi}{2}\right)$ ou $u_C(t) = -20\cos(100\pi t)$

$u_C(t) = 20\sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ ou $u_C(t) = -20\cos(100\pi t)$

$u_C(t) = 20\sin\left(1002\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ ou $u_C(t) = -20\cos(100\pi t)$

$u_C(t) = 40\sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ ou $u_C(t) = -20\cos(100\pi t)$

Une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ est placée en série dans un circuit comprenant un condensateur de capacité $C = 390 \, \mu F$ et un générateur (GBF) délivrant une tension alternative sinusoïdale : $u_G = 30 \sin(100\pi t)$, $u_G$ en V et $t$ en s (Figure 4). Le circuit est alors traversé par un courant alternatif sinusoïdal d'intensité : $i(t) = I_m \cos(100\pi t + \varphi)$, $I_m$ en A et $\varphi$ en rad. Un oscilloscope numérique connecté au circuit permet de visualiser sur la voie $Y_A$ la tension $u_G = u_{AM}$ et sur la voie $Y_B$ la tension $u_C = u_{BM}$ (Figure 5). Sur l'écran de l'oscilloscope, les oscillogrammes de la Figure 5 sont observés. Données : $C = 390 \, \mu F$ ; $u_G = 30 \sin(100\pi t)$ ; $i(t) = I_m \cos(100\pi t + \varphi)$ ; $\tau = 3,7 \, ms$ Le couple $(I_m; \varphi)$ a pour valeur (respectivement en A et en rad) :

$(I_m, \varphi) = (C\omega \cdot U_{Cm}, \varphi_C + \frac{2\pi}{2})$

$(I_m, \varphi) = (C\omega \cdot U_{Cm}, \varphi_C + \frac{\pi}{4})$

$(I_m, \varphi) = (C\omega \cdot U_{Cm}, \varphi_C + \frac{\pi}{2})$

$(I_m, \varphi) = (C\omega \cdot U_{Cm}, \varphi_C - \frac{\pi}{2})$

On suppose que l'accélération de la pesanteur est constante et égale à $g = 10 \, m/s^2$, dirigée vers le bas. Les parties A, B et C sont indépendantes. Rédaction : On écrit seulement le résultat final sur la fiche de réponse. On étudie le mouvement d'un skieur, assimilé à un point matériel de masse $m$, descendant une piste selon la ligne de plus grande pente faisant l'angle $\alpha$ avec l'horizontale (Figure 6). À l'instant initial, le skieur part sans vitesse initiale du point $O$ choisi comme origine de l'axe $Ox$ confondu avec la piste. On note $Oy$ la normale à la piste dirigée vers le haut. $\vec{i}$ et $\vec{j}$ désignent respectivement les vecteurs unitaires des axes $(Ox)$ et $(Oy)$. La réaction de la neige sur le skieur est notée : $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ avec $T = \mu N$ où $\mu$ désigne le coefficient de frottement. On repère la position du skieur sur l'axe $Ox$ par son abscisse $x(t)$. On néglige la résistance de l'air. Données : $g = 10 \, m/s^2$ ; $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ ; $T = \mu N$ Exprimer l'accélération $\gamma$ du skieur en fonction de $\alpha$, $g$ et $\mu$.

$\gamma = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$

$\gamma = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$

On suppose que l'accélération de la pesanteur est constante et égale à $g = 10 \, m/s^2$, dirigée vers le bas. Les parties A, B et C sont indépendantes. Rédaction : On écrit seulement le résultat final sur la fiche de réponse. On étudie le mouvement d'un skieur, assimilé à un point matériel de masse $m$, descendant une piste selon la ligne de plus grande pente faisant l'angle $\alpha$ avec l'horizontale (Figure 6). À l'instant initial, le skieur part sans vitesse initiale du point $O$ choisi comme origine de l'axe $Ox$ confondu avec la piste. On note $Oy$ la normale à la piste dirigée vers le haut. $\vec{i}$ et $\vec{j}$ désignent respectivement les vecteurs unitaires des axes $(Ox)$ et $(Oy)$. La réaction de la neige sur le skieur est notée : $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ avec $T = \mu N$ où $\mu$ désigne le coefficient de frottement. On repère la position du skieur sur l'axe $Ox$ par son abscisse $x(t)$. On néglige la résistance de l'air. Données : $g = 10 \, m/s^2$ ; $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ ; $T = \mu N$ Déterminer l'équation horaire $x(t)$ en fonction du temps $t$, $\alpha$, $g$ et $\mu$.

$x(t) = \frac{1}{2}g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)t^2$

On suppose que l'accélération de la pesanteur est constante et égale à $g = 10 \, m/s^2$, dirigée vers le bas. Les parties A, B et C sont indépendantes. Rédaction : On écrit seulement le résultat final sur la fiche de réponse. On étudie le mouvement d'un skieur, assimilé à un point matériel de masse $m$, descendant une piste selon la ligne de plus grande pente faisant l'angle $\alpha$ avec l'horizontale (Figure 6). À l'instant initial, le skieur part sans vitesse initiale du point $O$ choisi comme origine de l'axe $Ox$ confondu avec la piste. On note $Oy$ la normale à la piste dirigée vers le haut. $\vec{i}$ et $\vec{j}$ désignent respectivement les vecteurs unitaires des axes $(Ox)$ et $(Oy)$. La réaction de la neige sur le skieur est notée : $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ avec $T = \mu N$ où $\mu$ désigne le coefficient de frottement. On repère la position du skieur sur l'axe $Ox$ par son abscisse $x(t)$. On néglige la résistance de l'air. Données : $g = 10 \, m/s^2$ ; $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ ; $T = \mu N$ Déterminer, en fonction de $\alpha$, $g$, $\mu$ et $l$, la vitesse $v$ du skieur quand il parcourt une distance $l$.

$v = 2\sqrt{2gl(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}$

$v = \sqrt{2gl(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}$

$v = \sqrt{2gl(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}$

$v = \sqrt{4gl(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}$

On suppose que l'accélération de la pesanteur est constante et égale à $g = 10 \, m/s^2$, dirigée vers le bas. Les parties A, B et C sont indépendantes. Rédaction : On écrit seulement le résultat final sur la fiche de réponse. On étudie le mouvement d'un skieur, assimilé à un point matériel de masse $m$, descendant une piste selon la ligne de plus grande pente faisant l'angle $\alpha$ avec l'horizontale (Figure 6). À l'instant initial, le skieur part sans vitesse initiale du point $O$ choisi comme origine de l'axe $Ox$ confondu avec la piste. On note $Oy$ la normale à la piste dirigée vers le haut. $\vec{i}$ et $\vec{j}$ désignent respectivement les vecteurs unitaires des axes $(Ox)$ et $(Oy)$. La réaction de la neige sur le skieur est notée : $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ avec $T = \mu N$ où $\mu$ désigne le coefficient de frottement. On repère la position du skieur sur l'axe $Ox$ par son abscisse $x(t)$. On néglige la résistance de l'air. Données : $g = 10 \, m/s^2$ ; $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ ; $T = \mu N$ En appliquant la deuxième loi de Newton, la vitesse $v$ du skieur vérifie l'équation différentielle : $m\dot{v} + \lambda v - \beta = 0$. Exprimer $\beta$ en fonction de $m$, $\alpha$, $g$ et $\mu$.

$\beta = mg(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$

$\beta = mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$

On suppose que l'accélération de la pesanteur est constante et égale à $g = 10 \, m/s^2$, dirigée vers le bas. Les parties A, B et C sont indépendantes. Rédaction : On écrit seulement le résultat final sur la fiche de réponse. On étudie le mouvement d'un skieur, assimilé à un point matériel de masse $m$, descendant une piste selon la ligne de plus grande pente faisant l'angle $\alpha$ avec l'horizontale (Figure 6). À l'instant initial, le skieur part sans vitesse initiale du point $O$ choisi comme origine de l'axe $Ox$ confondu avec la piste. On note $Oy$ la normale à la piste dirigée vers le haut. $\vec{i}$ et $\vec{j}$ désignent respectivement les vecteurs unitaires des axes $(Ox)$ et $(Oy)$. La réaction de la neige sur le skieur est notée : $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ avec $T = \mu N$ où $\mu$ désigne le coefficient de frottement. On repère la position du skieur sur l'axe $Ox$ par son abscisse $x(t)$. On néglige la résistance de l'air. Données : $g = 10 \, m/s^2$ ; $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ ; $T = \mu N$ La piste est tellement longue qu'un régime permanent va s'établir. Déterminer la valeur numérique (en $m/s$) de la vitesse limite $v_l$.

$v_l = 80(\sin 45° - 0{,}9 \cos 45°) = 80 \times \frac{\sqrt{2}}{2}(1 - 0{,}9) \approx 5{,}66 \text{ m/s}$

On suppose que l'accélération de la pesanteur est constante et égale à $g = 10 \, m/s^2$, dirigée vers le bas. Les parties A, B et C sont indépendantes. Rédaction : On écrit seulement le résultat final sur la fiche de réponse. On étudie le mouvement d'un skieur, assimilé à un point matériel de masse $m$, descendant une piste selon la ligne de plus grande pente faisant l'angle $\alpha$ avec l'horizontale (Figure 6). À l'instant initial, le skieur part sans vitesse initiale du point $O$ choisi comme origine de l'axe $Ox$ confondu avec la piste. On note $Oy$ la normale à la piste dirigée vers le haut. $\vec{i}$ et $\vec{j}$ désignent respectivement les vecteurs unitaires des axes $(Ox)$ et $(Oy)$. La réaction de la neige sur le skieur est notée : $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ avec $T = \mu N$ où $\mu$ désigne le coefficient de frottement. On repère la position du skieur sur l'axe $Ox$ par son abscisse $x(t)$. On néglige la résistance de l'air. Données : $g = 10 \, m/s^2$ ; $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ ; $T = \mu N$ Sachant que $x(t = 0) = 0$, déterminer l'équation horaire $x(t)$ en fonction de $v_l$, $\tau$ et $t$.

$x(t) = v_l\left[t + \tau\left(e^{+t/\tau} - 1\right)\right] = v_l\left(t - \tau + \tau e^{-t/\tau}\right)$

$x(t) = v_l\left[t + \tau\left(e^{-t/\tau} - 1\right)\right] = v_l\left(t - \tau + \tau e^{-t/\tau}\right)$

$x(t) = v_l\left[t - \tau\left(e^{-t/\tau} - 1\right)\right] = v_l\left(t - \tau + \tau e^{-t/\tau}\right)$

$x(t) = v_l\left[t + \tau\left(e^{t/\tau} - 1\right)\right] = v_l\left(t - \tau + \tau e^{-t/\tau}\right)$

$x(t) = v_l\left[t + \tau\left(e^{--t/\tau} - 1\right)\right] = v_l\left(t - \tau + \tau e^{-t/\tau}\right)$

On suppose que l'accélération de la pesanteur est constante et égale à $g = 10 \, m/s^2$, dirigée vers le bas. Les parties A, B et C sont indépendantes. Rédaction : On écrit seulement le résultat final sur la fiche de réponse. On étudie le mouvement d'un skieur, assimilé à un point matériel de masse $m$, descendant une piste selon la ligne de plus grande pente faisant l'angle $\alpha$ avec l'horizontale (Figure 6). À l'instant initial, le skieur part sans vitesse initiale du point $O$ choisi comme origine de l'axe $Ox$ confondu avec la piste. On note $Oy$ la normale à la piste dirigée vers le haut. $\vec{i}$ et $\vec{j}$ désignent respectivement les vecteurs unitaires des axes $(Ox)$ et $(Oy)$. La réaction de la neige sur le skieur est notée : $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ avec $T = \mu N$ où $\mu$ désigne le coefficient de frottement. On repère la position du skieur sur l'axe $Ox$ par son abscisse $x(t)$. On néglige la résistance de l'air. Données : $g = 10 \, m/s^2$ ; $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ ; $T = \mu N$ La distance $d$ (en $m$) parcourue par le skieur avant de s'arrêter.

$d = \frac{v_1^2}{2g(\mu\cos\alpha + \sin\alpha)}$ (après le point $t_1$, freinage avec frottement accru)

$d = \frac{v_1^2}{2g(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)}$ (après le point $t_1$, freinage avec frottement accru)

$d = \frac{v_1^4}{2g(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)}$ (après le point $t_1$, freinage avec frottement accru)

On suppose que l'accélération de la pesanteur est constante et égale à $g = 10 \, m/s^2$, dirigée vers le bas. Les parties A, B et C sont indépendantes. Rédaction : On écrit seulement le résultat final sur la fiche de réponse. On étudie le mouvement d'un skieur, assimilé à un point matériel de masse $m$, descendant une piste selon la ligne de plus grande pente faisant l'angle $\alpha$ avec l'horizontale (Figure 6). À l'instant initial, le skieur part sans vitesse initiale du point $O$ choisi comme origine de l'axe $Ox$ confondu avec la piste. On note $Oy$ la normale à la piste dirigée vers le haut. $\vec{i}$ et $\vec{j}$ désignent respectivement les vecteurs unitaires des axes $(Ox)$ et $(Oy)$. La réaction de la neige sur le skieur est notée : $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ avec $T = \mu N$ où $\mu$ désigne le coefficient de frottement. On repère la position du skieur sur l'axe $Ox$ par son abscisse $x(t)$. On néglige la résistance de l'air. Données : $g = 10 \, m/s^2$ ; $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ ; $T = \mu N$ La durée $\Delta t$ (en $s$) entre l'instant $t_1$ et l'instant d'arrêt $t_2$.

$\Delta t = \frac{v_1}{|\gamma'|} = \frac{v_l/2}{g(\mu'\cos\alpha + \sin\alpha)}$

$\Delta t = \frac{v_1}{|\gamma'|} = \frac{v_l/4}{g(\mu'\cos\alpha - \sin\alpha)}$

$\Delta t = \frac{v_1}{|\gamma'|} = \frac{v_l/2}{g(\mu'\cos\alpha - \sin\alpha)}$

On suppose que l'accélération de la pesanteur est constante et égale à $g = 10 \, m/s^2$, dirigée vers le bas. Les parties A, B et C sont indépendantes. Rédaction : On écrit seulement le résultat final sur la fiche de réponse. On étudie le mouvement d'un skieur, assimilé à un point matériel de masse $m$, descendant une piste selon la ligne de plus grande pente faisant l'angle $\alpha$ avec l'horizontale (Figure 6). À l'instant initial, le skieur part sans vitesse initiale du point $O$ choisi comme origine de l'axe $Ox$ confondu avec la piste. On note $Oy$ la normale à la piste dirigée vers le haut. $\vec{i}$ et $\vec{j}$ désignent respectivement les vecteurs unitaires des axes $(Ox)$ et $(Oy)$. La réaction de la neige sur le skieur est notée : $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ avec $T = \mu N$ où $\mu$ désigne le coefficient de frottement. On repère la position du skieur sur l'axe $Ox$ par son abscisse $x(t)$. On néglige la résistance de l'air. Données : $g = 10 \, m/s^2$ ; $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ ; $T = \mu N$ Le travail $W$ (en $kJ$) de la force de frottement entre les instants $t_1$ et $t_2$.

$W = -\mu' mg\cos\alpha \cdot d$

$W = +\mu' mg\cos\alpha \cdot d$

QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse. Un palet $M$ de masse $m$, assimilé à un point matériel, est lancé sur une piste composée d'une portion rectiligne $AB$ et inclinée d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale, et d'une portion circulaire $BC$, de rayon $R$ et d'angle $\widehat{BOC} = \frac{\pi}{2} + \alpha$ (Figure 7). Le palet, initialement lancé depuis $A$ avec la vitesse $V_A$, glisse sans frottement sur la piste. Données : Angle $\widehat{BOC} = \frac{\pi}{2} + \alpha$ ; Rayon $R$ ; Vitesse initiale $V_A$ ; Sans frottement En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, l'expression de la vitesse $V_B$ au point $B$ est :

$V_B = \sqrt{V_A^4 + 2gAB\sin\alpha}$

$V_B = 2\sqrt{V_A^2 + 2gAB\sin\alpha}$

$V_B = \sqrt{V_A^2 - 2gAB\sin\alpha}$

$V_B = \sqrt{V_A^2 + 2gAB\sin\alpha}$

QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse. Un palet $M$ de masse $m$, assimilé à un point matériel, est lancé sur une piste composée d'une portion rectiligne $AB$ et inclinée d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale, et d'une portion circulaire $BC$, de rayon $R$ et d'angle $\widehat{BOC} = \frac{\pi}{2} + \alpha$ (Figure 7). Le palet, initialement lancé depuis $A$ avec la vitesse $V_A$, glisse sans frottement sur la piste. Données : Angle $\widehat{BOC} = \frac{\pi}{2} + \alpha$ ; Rayon $R$ ; Vitesse initiale $V_A$ ; Sans frottement Afin que $B$ soit effectivement atteint par l'objet, il est nécessaire que $V_A > V_{A1}$. L'expression de $V_{A1}$ est :

$V_{A1} = 0$ (si le palet descend) ; ou $V_{A1} = \sqrt{4gAB\sin\alpha}$ si le palet monte

$V_{A1} = 0$ (si le palet descend) ; ou $V_{A1} = \sqrt{2gAB\sin\alpha}$ si le palet monte

$V_{A1} = 0$ (si le palet descend) ; ou $V_{A1} = 2\sqrt{2gAB\sin\alpha}$ si le palet monte

QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse. Un palet $M$ de masse $m$, assimilé à un point matériel, est lancé sur une piste composée d'une portion rectiligne $AB$ et inclinée d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale, et d'une portion circulaire $BC$, de rayon $R$ et d'angle $\widehat{BOC} = \frac{\pi}{2} + \alpha$ (Figure 7). Le palet, initialement lancé depuis $A$ avec la vitesse $V_A$, glisse sans frottement sur la piste. Données : Angle $\widehat{BOC} = \frac{\pi}{2} + \alpha$ ; Rayon $R$ ; Vitesse initiale $V_A$ ; Sans frottement L'expression de la durée $\tau$ de parcours du trajet $AB$ est :

$\tau = \frac{V_B + V_A}{g\sin\alpha}$ ou $\tau = \frac{-V_A + \sqrt{V_A^2 + 2gAB\sin\alpha}}{g\sin\alpha}$

$\tau = \frac{V_B - V_A}{g\sin\alpha}$ ou $\tau = \frac{-V_A + 2\sqrt{V_A^2 + 2gAB\sin\alpha}}{g\sin\alpha}$

$\tau = \frac{V_B - V_A}{g\sin\alpha}$ ou $\tau = \frac{-V_A + \sqrt{V_A^4 + 2gAB\sin\alpha}}{g\sin\alpha}$

$\tau = \frac{V_B - V_A}{g\sin\alpha}$ ou $\tau = \frac{-V_A + \sqrt{V_A^2 + 2gAB\sin\alpha}}{g\sin\alpha}$

$\tau = \frac{V_B - V_A}{g\sin\alpha}$ ou $\tau = \frac{-V_A - \sqrt{V_A^2 + 2gAB\sin\alpha}}{g\sin\alpha}$

QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse. Un palet $M$ de masse $m$, assimilé à un point matériel, est lancé sur une piste composée d'une portion rectiligne $AB$ et inclinée d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale, et d'une portion circulaire $BC$, de rayon $R$ et d'angle $\widehat{BOC} = \frac{\pi}{2} + \alpha$ (Figure 7). Le palet, initialement lancé depuis $A$ avec la vitesse $V_A$, glisse sans frottement sur la piste. Données : Angle $\widehat{BOC} = \frac{\pi}{2} + \alpha$ ; Rayon $R$ ; Vitesse initiale $V_A$ ; Sans frottement Lors de la phase du mouvement sur l'arc $BC$, on note $\theta$ l'angle entre $OM$ et la verticale $Oz$ (Figure 7). L'expression de la réaction normale $R_n$ de la piste sur $M$ est :

$R_n = \frac{mV^2}{R} + mg\cos\theta$ (piste intérieure) ou $R_n = mg\cos\theta - \frac{mV^2}{R}$ (piste extérieure)

$R_n = \frac{mV^4}{R} + mg\cos\theta$ (piste intérieure) ou $R_n = mg\cos\theta - \frac{mV^2}{R}$ (piste extérieure)

$R_n = \frac{mV^2}{R} + mg\cos\theta$ (piste intérieure) ou $R_n = mg\cos\theta + \frac{mV^2}{R}$ (piste extérieure)

$R_n = \frac{mV^2}{R} - mg\cos\theta$ (piste intérieure) ou $R_n = mg\cos\theta - \frac{mV^2}{R}$ (piste extérieure)

QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse. Un palet $M$ de masse $m$, assimilé à un point matériel, est lancé sur une piste composée d'une portion rectiligne $AB$ et inclinée d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale, et d'une portion circulaire $BC$, de rayon $R$ et d'angle $\widehat{BOC} = \frac{\pi}{2} + \alpha$ (Figure 7). Le palet, initialement lancé depuis $A$ avec la vitesse $V_A$, glisse sans frottement sur la piste. Données : Angle $\widehat{BOC} = \frac{\pi}{2} + \alpha$ ; Rayon $R$ ; Vitesse initiale $V_A$ ; Sans frottement Pour que le palet $M$ ne quitte pas la piste avant le sommet ($\theta = 0$), la vitesse $V_A$ doit rester inférieure à un seuil $V_{A0}$. L'expression de $V_{A0}$ est : (Indication : l'intensité $R_n$ doit rester positive pour maintenir le contact entre $M$ et le cercle)

$V_{A0} = \sqrt{gR}$ (condition au sommet pour ne pas quitter la piste)

$V_{A0} = 2\sqrt{gR}$ (condition au sommet pour ne pas quitter la piste)

QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse. Un palet $M$ de masse $m$, assimilé à un point matériel, est lancé sur une piste composée d'une portion rectiligne $AB$ et inclinée d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale, et d'une portion circulaire $BC$, de rayon $R$ et d'angle $\widehat{BOC} = \frac{\pi}{2} + \alpha$ (Figure 7). Le palet, initialement lancé depuis $A$ avec la vitesse $V_A$, glisse sans frottement sur la piste. Données : Angle $\widehat{BOC} = \frac{\pi}{2} + \alpha$ ; Rayon $R$ ; Vitesse initiale $V_A$ ; Sans frottement L'angle $\theta_d$ pour lequel le palet $M$ quitte la piste vérifie : $\cos\theta_d = \frac{V_A^2}{gR_d}$. Le coefficient $\beta$ est :

$\beta = 3$ (i.e., $\cos\theta_d = \frac{V_A^2}{3gR}$)

$\beta = 3$ (i.e., $\cos\theta_d = \frac{V_A^4}{3gR}$)

$\beta = 6$ (i.e., $\cos\theta_d = \frac{V_A^2}{3gR}$)

Une bille $M$ assimilée à un point matériel de masse $m$, peut se déplacer sur un plan incliné d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale (Figure 8). Elle est mise en mouvement à l'aide d'un ressort $R_1$ de constante de raideur $k_1$ de longueur à vide $l_0$. En haut du plan incliné se trouve un autre ressort $R_2$ de constante de raideur $k_2$ et de même longueur à vide $O_2A = l_0$. On donne la longueur $O_1O_2 = 4l_0$. L'origine des énergies potentielles de pesanteur est le plan horizontal passant par $O_1$. Le point $M$ peut être repéré soit par son abscisse $x$ sur l'axe $(O\alpha)$ soit par son abscisse $x = O_1M$ sur l'axe $(O_1O_2)$ orienté de $O_1$ vers $O_2$. On néglige les masses des ressorts ainsi que les frottements. Données : Longueur à vide des ressorts: $l_0$ ; $O_1O_2 = 4l_0$ ; Constantes de raideur: $k_1$ et $k_2$ La longueur $l_{eq}$ du ressort $R_1$ correspondant à l'équilibre de la bille est :

$l_{eq} = l_0 - \frac{mg\sin\alpha}{k_1}$

$l_{eq} = l_0 + \frac{mg\sin\alpha}{k_1}$

Une bille $M$ assimilée à un point matériel de masse $m$, peut se déplacer sur un plan incliné d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale (Figure 8). Elle est mise en mouvement à l'aide d'un ressort $R_1$ de constante de raideur $k_1$ de longueur à vide $l_0$. En haut du plan incliné se trouve un autre ressort $R_2$ de constante de raideur $k_2$ et de même longueur à vide $O_2A = l_0$. On donne la longueur $O_1O_2 = 4l_0$. L'origine des énergies potentielles de pesanteur est le plan horizontal passant par $O_1$. Le point $M$ peut être repéré soit par son abscisse $x$ sur l'axe $(O\alpha)$ soit par son abscisse $x = O_1M$ sur l'axe $(O_1O_2)$ orienté de $O_1$ vers $O_2$. On néglige les masses des ressorts ainsi que les frottements. Données : Longueur à vide des ressorts: $l_0$ ; $O_1O_2 = 4l_0$ ; Constantes de raideur: $k_1$ et $k_2$ L'énergie potentielle totale de la bille (élastique et de pesanteur) est :

$E_p = \frac{1}{2}k_1(x - l_0)^2 + mgx\sin\alpha$ (avec la référence de pesanteur au niveau de $O_1$, $E_p$ de pesanteur négative car en bas)

Une bille $M$ assimilée à un point matériel de masse $m$, peut se déplacer sur un plan incliné d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale (Figure 8). Elle est mise en mouvement à l'aide d'un ressort $R_1$ de constante de raideur $k_1$ de longueur à vide $l_0$. En haut du plan incliné se trouve un autre ressort $R_2$ de constante de raideur $k_2$ et de même longueur à vide $O_2A = l_0$. On donne la longueur $O_1O_2 = 4l_0$. L'origine des énergies potentielles de pesanteur est le plan horizontal passant par $O_1$. Le point $M$ peut être repéré soit par son abscisse $x$ sur l'axe $(O\alpha)$ soit par son abscisse $x = O_1M$ sur l'axe $(O_1O_2)$ orienté de $O_1$ vers $O_2$. On néglige les masses des ressorts ainsi que les frottements. Données : Longueur à vide des ressorts: $l_0$ ; $O_1O_2 = 4l_0$ ; Constantes de raideur: $k_1$ et $k_2$ L'équation différentielle du mouvement de la bille s'écrit : $\ddot{x} + \omega_0^2(x - l_{eq}) = 0$. La pulsation $\omega_0$ est :

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k_1}{m}}$

$\omega_0 = 2\sqrt{\frac{k_1}{m}}$

Une bille $M$ assimilée à un point matériel de masse $m$, peut se déplacer sur un plan incliné d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale (Figure 8). Elle est mise en mouvement à l'aide d'un ressort $R_1$ de constante de raideur $k_1$ de longueur à vide $l_0$. En haut du plan incliné se trouve un autre ressort $R_2$ de constante de raideur $k_2$ et de même longueur à vide $O_2A = l_0$. On donne la longueur $O_1O_2 = 4l_0$. L'origine des énergies potentielles de pesanteur est le plan horizontal passant par $O_1$. Le point $M$ peut être repéré soit par son abscisse $x$ sur l'axe $(O\alpha)$ soit par son abscisse $x = O_1M$ sur l'axe $(O_1O_2)$ orienté de $O_1$ vers $O_2$. On néglige les masses des ressorts ainsi que les frottements. Données : Longueur à vide des ressorts: $l_0$ ; $O_1O_2 = 4l_0$ ; Constantes de raideur: $k_1$ et $k_2$ L'équation horaire $x(t)$ s'écrit sous la forme : $x(t) = \lambda + \mu \cos(\omega_0 t)$. Le couple $(\lambda, \mu)$ est :

$(\lambda, \mu) = (l_{eq}, a + l_{eq})$ où $a + l_0$ est la position initiale

$(\lambda, \mu) = (l_{eq}, a - l_{eq})$ où $a + l_0$ est la position initiale

$(\lambda, \mu) = (l_{eq}, a - l_{eq})$ où $a - l_0$ est la position initiale

Une bille $M$ assimilée à un point matériel de masse $m$, peut se déplacer sur un plan incliné d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale (Figure 8). Elle est mise en mouvement à l'aide d'un ressort $R_1$ de constante de raideur $k_1$ de longueur à vide $l_0$. En haut du plan incliné se trouve un autre ressort $R_2$ de constante de raideur $k_2$ et de même longueur à vide $O_2A = l_0$. On donne la longueur $O_1O_2 = 4l_0$. L'origine des énergies potentielles de pesanteur est le plan horizontal passant par $O_1$. Le point $M$ peut être repéré soit par son abscisse $x$ sur l'axe $(O\alpha)$ soit par son abscisse $x = O_1M$ sur l'axe $(O_1O_2)$ orienté de $O_1$ vers $O_2$. On néglige les masses des ressorts ainsi que les frottements. Données : Longueur à vide des ressorts: $l_0$ ; $O_1O_2 = 4l_0$ ; Constantes de raideur: $k_1$ et $k_2$ L'énergie mécanique de la bille exprimée au point $B$ s'écrit : $E_m(B) = Ak_2 l_0^2 + Bmgl_0 \sin\alpha$. Le couple $(A, B)$ est :

$(A, B) = \left(\frac{1}{8}, 4\right)$ ou valeurs déterminées par le calcul au point $B$

Une bille $M$ assimilée à un point matériel de masse $m$, peut se déplacer sur un plan incliné d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale (Figure 8). Elle est mise en mouvement à l'aide d'un ressort $R_1$ de constante de raideur $k_1$ de longueur à vide $l_0$. En haut du plan incliné se trouve un autre ressort $R_2$ de constante de raideur $k_2$ et de même longueur à vide $O_2A = l_0$. On donne la longueur $O_1O_2 = 4l_0$. L'origine des énergies potentielles de pesanteur est le plan horizontal passant par $O_1$. Le point $M$ peut être repéré soit par son abscisse $x$ sur l'axe $(O\alpha)$ soit par son abscisse $x = O_1M$ sur l'axe $(O_1O_2)$ orienté de $O_1$ vers $O_2$. On néglige les masses des ressorts ainsi que les frottements. Données : Longueur à vide des ressorts: $l_0$ ; $O_1O_2 = 4l_0$ ; Constantes de raideur: $k_1$ et $k_2$ En utilisant la conservation de l'énergie mécanique, l'expression de la constante de raideur $k_2$ se met sous la forme : $k_2 = 4k_1(1 - C)^2 - \frac{8mg\sin\alpha}{l_0} D$. Le couple $(C, D)$ est :

$(C, D)$ se détermine par conservation de l'énergie $E_m(\text{initial}) = E_m(B)$

ENSAM Physique 2024 - Question 23 of 48

Une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ est placée en série dans un circuit comprenant un condensateur de capacité $C = 390 μ F$ et un générateur (GBF) délivrant une tension alternative sinusoïdale : $u_{G} = 30 sin (100 π t)$ , $u_{G}$ en V et $t$ en s (Figure 4). Le circuit est alors traversé par un courant alternatif sinusoïdal d'intensité : $i (t) = I_{m} cos (100 π t + φ)$ , $I_{m}$ en A et $φ$ en rad. Un oscilloscope numérique connecté au circuit permet de visualiser sur la voie $Y_{A}$ la tension $u_{G} = u_{A M}$ et sur la voie $Y_{B}$ la tension $u_{C} = u_{B M}$ (Figure 5). Sur l'écran de l'oscilloscope, les oscillogrammes de la Figure 5 sont observés. \nDonnées : $C = 390 μ F$ ; $u_{G} = 30 sin (100 π t)$ ; $i (t) = I_{m} cos (100 π t + φ)$ ; $τ = 3, 7 m s$

\nEn appliquant la loi des mailles temporelles et en utilisant les expressions de

u_{G}

i (t)

u_{C} (t)

puis en attribuant au temps

t

deux valeurs particulières, le couple

(r; L)

a pour valeur (respectivement en

Ω

m H

) :

0

\frac{1}{2}

1

(r, L)

se détermine par le système d'équations obtenu en posant

t = 0

t = T /4

- 1