Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses On propose à un candidat un QCM de 30 questions. Pour chaque question, il y a 5 réponses possibles dont une seule est correcte. Quelle est la probabilité P pour que toutes ses réponses soient justes sachant qu'il va répondre au hasard à ce questionnaire ?

$P = \left(\frac{1}{5}\right)^{30} = \frac{1}{5^{30}}$

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses Soit $f(x) = x + \ln x$ une fonction strictement croissante et bijective de $\mathbb{R}^*_+$ sur $\mathbb{R}$. On note $g$ sa fonction réciproque qui est dérivable sur $\mathbb{R}$. Quelle est la valeur de $g'(x)$.

$g'(x) = \frac{1}{1 - \frac{1}{g(x)}} = \frac{g(x)}{g(x) + 1}$

$g'(x) = \frac{1}{1 + \frac{1}{g(x)}} = \frac{g(x)}{g(x) + 1}$

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses Déterminer la limite de la suite de terme général $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} = \left(\cos \frac{1}{n}\right)^{n^2}$.

$\lim_{n \to +\infty} u_n = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses Dans le plan complexe, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $1+4i$, $2-i$ et $-3-5i$. Déterminer l'affixe $z_D$ du point $D$ tel que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme.

$z_D = +4 + 2i$ (si $ABCD$ est un parallélogramme avec $\vec{AB} = \vec{DC}$) ou $z_D = 6 + 8i$ (si $\vec{AD} = \vec{BC}$) ou $z_D = -2 - 10i$ (si $\vec{AC} = \vec{BD}$)

$z_D = -4 - 2i$ (si $ABCD$ est un parallélogramme avec $\vec{AB} = \vec{DC}$) ou $z_D = 6 + 8i$ (si $\vec{AD} = \vec{BC}$) ou $z_D = -2 - 10i$ (si $\vec{AC} = \vec{BD}$)

$z_D = -4 + 2i$ (si $ABCD$ est un parallélogramme avec $\vec{AB} = \vec{DC}$) ou $z_D = 6 + 8i$ (si $\vec{AD} = \vec{BC}$) ou $z_D = -2 - 10i$ (si $\vec{AC} = \vec{BD}$)

$z_D = -4 + 4i$ (si $ABCD$ est un parallélogramme avec $\vec{AB} = \vec{DC}$) ou $z_D = 6 + 8i$ (si $\vec{AD} = \vec{BC}$) ou $z_D = -2 - 10i$ (si $\vec{AC} = \vec{BD}$)

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses Pour $n \in \mathbb{N}$, on définit l'entier $A_n = 1 + 5^n + 5^{2n} + 5^{3n}$. Déterminer la condition nécessaire et suffisante pour laquelle $A_n$ est un multiple de 13.

$n$ impair (i.e., $n$ est un entier impair)

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses On définit dans $\mathbb{R}^2$ la loi notée $*$ par : $\forall ((x,y); (x',y')) \in (\mathbb{R}^2)^2, (x,y) * (x',y') = (x + x', ye^{x'} + y'e^{-x})$.

$(\mathbb{R}^2, *)$ est un groupe commutatif d'élément neutre $(0, 0)$ et le symétrique de $(x, y)$ est $(+x, -ye^x)$

$(\mathbb{R}^4, *)$ est un groupe commutatif d'élément neutre $(0, 0)$ et le symétrique de $(x, y)$ est $(-x, -ye^x)$

$(\mathbb{R}^2, *)$ est un groupe commutatif d'élément neutre $(0, 0)$ et le symétrique de $(x, y)$ est $(-x, -ye^x)$

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses Soit $f$ une fonction définie, continue et strictement monotone de $[0,1]$ sur $[0,1]$. Cocher la bonne réponse.

$\int_0^1 f(x)\,dx + \int_0^1 f^{+1}(x)\,dx = 1$

$\int_0^1 f(x)\,dx - \int_0^1 f^{-1}(x)\,dx = 1$

$\int_0^1 f(x)\,dx + \int_0^1 f^{-1}(x)\,dx = 1$

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}^+_*$ par $f(t) = \int_0^1 \frac{dx}{1+x^t}$. Cocher la bonne réponse.

$f(t) + f(t) \neq 1$ en général ; $\frac{1}{2} 0$ ; $f(t) \to \frac{1}{2}$ quand $t \to +\infty$

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses Donner la forme trigonométrique du nombre complexe $z = \sin\theta + 2i \sin^2 \frac{\theta}{2}$.

$z = 4\sin\frac{\theta}{2}\left(\cos\frac{\theta}{2} + i\sin\frac{\theta}{2}\right) = 2\sin\frac{\theta}{2} \cdot e^{i\theta/2}$ (pour $\sin\frac{\theta}{2} > 0$)

$z = 2\sin\frac{\theta}{2}\left(\cos\frac{\theta}{2} - i\sin\frac{\theta}{2}\right) = 2\sin\frac{\theta}{2} \cdot e^{i\theta/2}$ (pour $\sin\frac{\theta}{2} > 0$)

$z = 2\sin\frac{\theta}{2}\left(\cos\frac{\theta}{2} + i\sin\frac{\theta}{2}\right) = 2\sin\frac{\theta}{2} \cdot e^{i\theta/2}$ (pour $\sin\frac{\theta}{2} > 0$)

$z = 2\sin\frac{\theta}{2}\left(\cos\frac{\theta}{2} + i\sin\frac{\theta}{2}\right) = 2\sin\frac{\theta}{2} \cdot e^{-i\theta/2}$ (pour $\sin\frac{\theta}{2} > 0$)

Pour chaque question qui suit, écrire la réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses On note $S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ avec $v_n = \ln\left(\frac{n+2}{n+3}\right)$. Déterminer $\lim_{n \to +\infty} S_n$.

$\lim_{n \to +\infty} S_n = -\ln 2$ (si $v_n = \ln\frac{n+2}{n+3}$)

Pour chaque question qui suit, écrire la réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses Soit $z = x + iy$, $x$ et $y$ étant deux réels tels que $(x; y) \neq (1; 0)$. On pose $Z = \frac{z+2i}{z-1}$. L'ensemble $E$ des points d'affixe $z$ tel que $Z$ soit un imaginaire pur est un cercle de centre $C$ et de rayon $r$ privé d'un point $M$. Déterminer les cordonnées des point $C$ et $M$ et la valeur du rayon $r$.

$C\left(\frac{1}{2}, 1\right)$, $r = \frac{\sqrt{5}}{2}$, $M(1, 0)$

Pour chaque question qui suit, écrire la réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses Déterminer l'ensemble $P$ des primitives de la fonction $\frac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$.

$P = -2\cos(\sqrt{x}) - C$ où $C \in \mathbb{R}$

$P = -4\cos(\sqrt{x}) + C$ où $C \in \mathbb{R}$

$P = +2\cos(\sqrt{x}) + C$ où $C \in \mathbb{R}$

$P = -2\cos(2\sqrt{x}) + C$ où $C \in \mathbb{R}$

$P = -2\cos(\sqrt{x}) + C$ où $C \in \mathbb{R}$

Pour chaque question qui suit, écrire la réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses Soit $P(z) = z^3 + (-8 + i)z^2 + (17 - 8i)z + 17i$. Résoudre l'équation $P(z) = 0$ sachant qu'elle admet un imaginaire pur comme solution.

$z_1 = -i$, $z_2 = 4 - i$, $z_3 = 4 - i$ ; ou si la racine imaginaire pure est $z = i$ : $z_1 = i$, $z_2 = 4 - i$ et revoir la factorisation

$z_1 = -i$, $z_4 = 4 + i$, $z_3 = 4 - i$ ; ou si la racine imaginaire pure est $z = i$ : $z_1 = i$, $z_2 = 4 - i$ et revoir la factorisation

$z_1 = -i$, $z_2 = 4 + i$, $z_3 = 4 - i$ ; ou si la racine imaginaire pure est $z = i$ : $z_1 = i$, $z_2 = 4 - i$ et revoir la factorisation

$z_1 = -i$, $z_2 = 4 + i$, $z_6 = 4 - i$ ; ou si la racine imaginaire pure est $z = i$ : $z_1 = i$, $z_2 = 4 - i$ et revoir la factorisation

$z_1 = +i$, $z_2 = 4 + i$, $z_3 = 4 - i$ ; ou si la racine imaginaire pure est $z = i$ : $z_1 = i$, $z_2 = 4 - i$ et revoir la factorisation

ENSAM Mathématiques 2024 - Question 16 of 25

Pour chaque question qui suit, écrire la réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses

\nOn désigne par

[x]

la partie entière de

x

. Calculer la valeur

l

lim_{x \to 0} ([x^{2}] - [x]^{2})

l = 0

\frac{1}{2}

+ \infty

1

- \infty