Électricité (QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse) Les parties A, B et C sont indépendantes. Partie A Dans le schéma de la Figure 1, on utilise un supercondensateur de capacité très grande notée C et une source de courant idéale qui délivre une intensité constante $I = 100$ A. Le supercondensateur est initialement déchargé ($u_C(t = 0) = 0$ V). À l'instant $t = 0$, on positionne l'interrupteur K en position 0. On charge alors le condensateur à courant constant. Un système d'enregistrement permet d'obtenir la mesure suivante : à $t = t_0 = 52$ s, $u_C = U_0 = 2$ V. Données : I = 100 A (courant constant) ; u_C(t = 0) = 0 V ; t₀ = 52 s ; U₀ = 2 V ; R = 9 Ω (résistance de décharge) ; u_C(t₁) = U₁ = 1.65 V ; τ = RC À l'instant $t_0$, on bascule l'interrupteur K à la position 1. Ce condensateur se déchargera à travers une résistance $R = 9\ \Omega$ jusqu'à l'instant $t_1$ où $u_C(t_1) = U_1 = 1{,}65$ V. On pose $\tau = RC$. Durant la décharge de ce condensateur, l'expression de la tension $u_C(t)$ est égale à :

u_C(t) = U_0 e^{-(t-t_0)/\tau} = 2 e^{-(t-t_0)/\tau}

u_C(t) = U_0 e^{(t-t_0)/\tau} = 2 e^{-(t-t_0)/\tau}

u_C(t) = U_0 e^{+(t-t_0)/\tau} = 2 e^{-(t-t_0)/\tau}

u_C(t) = U_0 e^{-(t-t_0)/\tau} = 4 e^{-(t-t_0)/\tau}

u_C(t) = U_0 e^{--(t-t_0)/\tau} = 2 e^{-(t-t_0)/\tau}

Un supercondensateur est modélisé par l'association en série d'un conducteur ohmique de résistance $R_S$ et un condensateur de capacité $C_S$. On cherche à identifier de manière expérimentale les paramètres $R_S$ et $C_S$ de ce supercondensateur. Pour cela, à l'instant $t = 0$, on alimente le supercondensateur, initialement chargé sous la tension $u_0 = 1{,}55$ V, par une source de courant d'intensité constante $I = 100$ A pendant la durée $\Delta t = 10$ s ( Données : u₀ = 1.55 V ; I = 100 A ; Δt = 10 s ; u₁ = 5/3 V La tension $u_C(t)$ vérifie l'équation différentielle suivante :

$u_C = R_S I + (I/C_S) t + u_0 - R_S I, c'est-à-dire du_C/dt = I/C_S avec saut initial R_S·I$

Un supercondensateur est modélisé par l'association en série d'un conducteur ohmique de résistance $R_S$ et un condensateur de capacité $C_S$. On cherche à identifier de manière expérimentale les paramètres $R_S$ et $C_S$ de ce supercondensateur. Pour cela, à l'instant $t = 0$, on alimente le supercondensateur, initialement chargé sous la tension $u_0 = 1{,}55$ V, par une source de courant d'intensité constante $I = 100$ A pendant la durée $\Delta t = 10$ s ( Données : u₀ = 1.55 V ; I = 100 A ; Δt = 10 s ; u₁ = 5/3 V En tenant compte des conditions initiales, l'expression de la tension $u_C(t)$ en fonction du temps est :

$u_C(t) = (I/C_S)t + R_S·I + u_0$

On réalise un circuit électrique comportant un générateur de tension continue $E = 50$ V, un interrupteur de courant K, trois condensateurs de même capacité C, une résistance R et une bobine d'inductance L et de résistance interne négligeable (Figure 3). À l'instant $t = 0$ s, on positionne l'interrupteur K en position 0. On suppose que les condensateurs sont initialement chargés et les tensions à leurs bornes vérifient la relation $u_1(t = 0) = u_2(t = 0) = 5$ V. À l'instant $t = 5$ ms, un système de mesure permet de relever les grandeurs suivantes : $U(5\ ms) = 35{,}28$ V et $I_1(5\ ms) = 736$ mA. Données : E = 50 V ; u₁(t = 0) = u₂(t = 0) = 5 V ; U(5 ms) = 35.28 V ; I₁(5 ms) = 736 mA Le courant $I_1(t)$ s'exprime comme suit : $I_1(t) = I_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$. Le couple $(I_0, \tau)$ a pour expression :

(I_0, τ) = (B/R, 6RC/2) = (2, 3RC/2)

$(I_0, τ) = (B/R, 3RC/2) = (2, 3RC/2)$

(I_0, τ) = (B/R, 3RC/4) = (2, 3RC/2)

On réalise un circuit électrique comportant un générateur de tension continue $E = 50$ V, un interrupteur de courant K, trois condensateurs de même capacité C, une résistance R et une bobine d'inductance L et de résistance interne négligeable (Figure 3). À l'instant $t = 0$ s, on positionne l'interrupteur K en position 0. On suppose que les condensateurs sont initialement chargés et les tensions à leurs bornes vérifient la relation $u_1(t = 0) = u_2(t = 0) = 5$ V. À l'instant $t = 5$ ms, un système de mesure permet de relever les grandeurs suivantes : $U(5\ ms) = 35{,}28$ V et $I_1(5\ ms) = 736$ mA. Données : E = 50 V ; u₁(t = 0) = u₂(t = 0) = 5 V ; U(5 ms) = 35.28 V ; I₁(5 ms) = 736 mA Un système d'enregistrement permet de déterminer l'expression du courant établi dans le circuit comme suit : $i_2(t) = 2{,}5 \sin\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right)$ en A où $T_0$ est la période propre des oscillations dans le circuit. La valeur de l'inductance L en mH est :

L ≈ 140 mH (valeur dépendant de T₀)

$L ≈ 120 mH (valeur dépendant de T₀)$

On reprend l'énoncé précédent et on suppose qu'en plus du poids, la masse ponctuelle subit une force de frottement verticale qui s'oppose au vecteur vitesse et d'intensité constante : $f = 0{,}5$ N. Donner : Données : f = 0.5 N (force de frottement constante) ; m = 0.2 kg ; V₀ = 10 m.s⁻¹ ; g = 10 m/s² L'expression de la norme $V'_0$ de la vitesse de M quand il repasse par le point O, en fonction de m, g, f et $V_0$.

$V'₀ = V₀ √((mg - f)/(mg + f))$

V'₀ = V₀ √((mg - f)/(mg - f))

V'₀ = V₀ √((mg + f)/(mg + f))

Un point matériel M se déplace sans frottements à l'intérieur d'une gouttière terminée par un cercle de rayon a. Il est lâché en A, d'une hauteur h, sans vitesse initiale (Figure 4). Données : a : rayon du cercle ; h : hauteur initiale Exprimer la norme $V_M$ de la vitesse du point M lorsqu'il est à l'intérieur du cercle en fonction de a, h, g et θ.

V_M = √(2g(h + a(1 - cos θ)))

V_M = √(4g(h - a(1 - cos θ)))

$V_M = √(2g(h - a(1 - cos θ)))$

Un point matériel M se déplace sans frottements à l'intérieur d'une gouttière terminée par un cercle de rayon a. Il est lâché en A, d'une hauteur h, sans vitesse initiale (Figure 4). Données : a : rayon du cercle ; h : hauteur initiale Déterminer l'intensité R de la réaction exercée par le support circulaire sur le point matériel en fonction de m, a, h, g et θ.

R = m(2g(h - a - a cos θ)/a + g cos θ) = mg(3 cos θ - 2 + 2h/a)

R = m(2g(h - a + a cos θ)/a + g cos θ) = mg(3 cos θ - 2 + 2h/a)

R = m(2g(h + a + a cos θ)/a + g cos θ) = mg(3 cos θ - 2 + 2h/a)

R = m(4g(h - a + a cos θ)/a + g cos θ) = mg(3 cos θ - 2 + 2h/a)

R = m(2g(h - a + a cos θ)/a + g cos θ) = mg(6 cos θ - 2 + 2h/a)

QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse. Partie C Étudions un convoyeur à colis présent dans un centre de tri postal de la On se propose de déterminer l'angle α pour que le convoyeur fonctionne correctement, c'est-à-dire pour que les colis arrivent en B avec la vitesse du deuxième tapis roulant. En plus de son poids, le colis de masse m subit par le plan incliné une force $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ avec $T = fN$ où $f = 0{,}4$ désigne le coefficient de frottement. On note $\gamma = \vec{\gamma}\ \vec{i}$ l'accélération d'un colis sur le trajet AB. Données : V_A = 0.2 m.s⁻¹ ; V_B = 0.5 m.s⁻¹ ; f = 0.4 (coefficient de frottement) ; h = 2m (hauteur du plan incliné) ; g = 10 m/s² Le travail de la réaction $\vec{R}$ sur le trajet AB est :

W(R)_{AB} = +fmgh/tan(α) = -fmg·AB·cos α = -fmgh·cos α/sin α

$W(R)_{AB} = -fmgh/tan(α) = -fmg·AB·cos α = -fmgh·cos α/sin α$

QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse. Partie C Étudions un convoyeur à colis présent dans un centre de tri postal de la On se propose de déterminer l'angle α pour que le convoyeur fonctionne correctement, c'est-à-dire pour que les colis arrivent en B avec la vitesse du deuxième tapis roulant. En plus de son poids, le colis de masse m subit par le plan incliné une force $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ avec $T = fN$ où $f = 0{,}4$ désigne le coefficient de frottement. On note $\gamma = \vec{\gamma}\ \vec{i}$ l'accélération d'un colis sur le trajet AB. Données : V_A = 0.2 m.s⁻¹ ; V_B = 0.5 m.s⁻¹ ; f = 0.4 (coefficient de frottement) ; h = 2m (hauteur du plan incliné) ; g = 10 m/s² L'expression de $\tan(\alpha)$ est :

tan(α) = 2fgh / (2gh + V_B² + V_A²)

tan(α) = 4fgh / (2gh - V_B² + V_A²)

tan(α) = 2fgh / (2gh - V_B² - V_A²)

$tan(α) = 2fgh / (2gh - V_B² + V_A²)$

Les sous parties D.1 et D.2 sont indépendantes. D.1) Un point matériel M de masse m est susceptible de se déplacer sans frottements sur un axe horizontal. Il est soumis à l'action de 2 ressorts de même longueur à vide $l_0 = 20$ cm et de constantes de raideur différentes $k_1$ et $k_2$. Les autres extrémités des ressorts sont attachées à deux supports fixes $(S_1)$ et $(S_2)$ distants de d (voir Figure 6). On donne : $m = 4$ kg ; $k_1 = 100$ N/m ; $k_2 = 300$ N/m et $d = 60$ cm. On choisit la position d'équilibre de M comme origine O de l'axe (Ox). On écarte M de sa position d'équilibre jusqu'à la position d'abscisse $x_m > 0$ puis on le lâche à $t = 0$ sans vitesse initiale. À tout instant t, le point matériel M est repéré par son abscisse $x(t)$ (figure 6). On choisit la position du repos de chaque ressort (ressort n'est ni allongé ni comprimé) comme origine de l'énergie potentielle élastique et on pose $E_0 = \frac{1}{2}k_1(l_{e1} - l_0)^2$. Données : m = 4 kg ; k₁ = 100 N/m ; k₂ = 300 N/m ; l₀ = 20 cm ; d = 60 cm ; E₀ = (1/2)k₁(l_{e1} - l₀)² Les longueurs ($l_{e1}$, $l_{e2}$) des 2 ressorts à l'équilibre sont (en cm) :

$(l_e1, l_e2) = (25 cm, 35 cm)$

Les sous parties D.1 et D.2 sont indépendantes. D.1) Un point matériel M de masse m est susceptible de se déplacer sans frottements sur un axe horizontal. Il est soumis à l'action de 2 ressorts de même longueur à vide $l_0 = 20$ cm et de constantes de raideur différentes $k_1$ et $k_2$. Les autres extrémités des ressorts sont attachées à deux supports fixes $(S_1)$ et $(S_2)$ distants de d (voir Figure 6). On donne : $m = 4$ kg ; $k_1 = 100$ N/m ; $k_2 = 300$ N/m et $d = 60$ cm. On choisit la position d'équilibre de M comme origine O de l'axe (Ox). On écarte M de sa position d'équilibre jusqu'à la position d'abscisse $x_m > 0$ puis on le lâche à $t = 0$ sans vitesse initiale. À tout instant t, le point matériel M est repéré par son abscisse $x(t)$ (figure 6). On choisit la position du repos de chaque ressort (ressort n'est ni allongé ni comprimé) comme origine de l'énergie potentielle élastique et on pose $E_0 = \frac{1}{2}k_1(l_{e1} - l_0)^2$. Données : m = 4 kg ; k₁ = 100 N/m ; k₂ = 300 N/m ; l₀ = 20 cm ; d = 60 cm ; E₀ = (1/2)k₁(l_{e1} - l₀)² L'énergie potentielle élastique totale du point matériel M pour une position d'abscisse $x(t)$ s'écrit : $E_{P_e} = \frac{1}{2}\alpha x^2 + (1 + \beta)E_0$. Le couple $(\alpha, \beta)$ est :

(α, β) = (k₁ - k₂, k₂/k₁) = (400, 3)

$(α, β) = (k₁ + k₂, k₂/k₁) = (400, 3)$

(α, β) = (k₁ + k₂, k₂/k₁) = (400, 6)

D.2) On considère le système illustré dans la Figure 7 où le point matériel M de masse m est astreint à se déplacer sans frottements le long d'un demi-cercle de rayon a. Le point M est attaché à un ressort $(k, l_0)$ dont l'autre extrémité est fixée en O' ($OO' = a$). Le point M est repéré par l'angle $\theta = (Ox, OM)$. Pour une position θ de M, on admet que : - la longueur du ressort est $l = O'M = 2a\cos(\frac{\theta}{2})$ - L'angle $O\hat{M}O' = \frac{\theta}{2}$ Pour simplifier le problème, on pose : $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ ; $g^* = \frac{g}{a}$ ; $\frac{\omega^2}{g^*} = \frac{l_0}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Données : l = O'M = 2a cos(θ/2) ; Angle OM̂O' = θ/2 ; ω = √(k/m) ; g* = g/a ; ω²/g* = l₀/a = √3/2 On s'intéresse au cas des petits angles ($\theta \ll 1$). On rappelle qu'en cas de petits angles u ≪ 1 on a : $\sin(u) \approx u$ et $\cos(u) \approx 1$. L'équation différentielle précédente se simplifie en : $\ddot{\theta} = \eta\omega^2\theta$. Le coefficient η est égal à :

$η = (α + β)/2, avec les valeurs trouvées précédemment$

η = (α - β)/2, avec les valeurs trouvées précédemment

η = (α + β)/4, avec les valeurs trouvées précédemment

ENSAM Physique 2023 - Question 46 of 48

D.2) On considère le système illustré dans la Figure 7 où le point matériel M de masse m est astreint à se déplacer sans frottements le long d'un demi-cercle de rayon a. Le point M est attaché à un ressort $(k, l_{0})$ dont l'autre extrémité est fixée en O' ( $O O^{'} = a$ ). Le point M est repéré par l'angle $θ = (O x, O M)$ . \nPour une position θ de M, on admet que : - la longueur du ressort est $l = O^{'} M = 2 a cos (\frac{θ}{2})$ - L'angle $O \hat{M} O^{'} = \frac{θ}{2}$ \nPour simplifier le problème, on pose : $ω = \frac{k}{m}$ ; $g^{*} = \frac{g}{a}$ ; $\frac{ω ^{2}}{g ^{*}} = \frac{l _{0}}{a} = \frac{3}{2}$ \nDonnées : l = O'M = 2a cos(θ/2) ; Angle OM̂O' = θ/2 ; ω = √(k/m) ; g* = g/a ; ω²/g* = l₀/a = √3/2

\nL'équation différentielle vérifiée par

θ (t)

s'écrit :

\ddot{θ} = ω^{2} (a cos (\frac{θ}{2}) + β) sin (\frac{θ}{2})

. Le couple

(α, β)

est :

A. (α, β) = (1, -l₀/(4a)) ou selon la forme exacte de l'équation

(α, β) = (1, - l_{0} / (2 a)) o u se l o n l a f or m ee x a c t e d e l^{'} \overset{e}{ˊ} q u a t i o n

0

D. (α, β) = (1, +l₀/(2a)) ou selon la forme exacte de l'équation

1