Électricité (QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse) Les parties A, B et C sont indépendantes. Partie A Dans le schéma de la Figure 1, on utilise un supercondensateur de capacité très grande notée C et une source de courant idéale qui délivre une intensité constante $I = 100$ A. Le supercondensateur est initialement déchargé ($u_C(t = 0) = 0$ V). À l'instant $t = 0$, on positionne l'interrupteur K en position 0. On charge alors le condensateur à courant constant. Un système d'enregistrement permet d'obtenir la mesure suivante : à $t = t_0 = 52$ s, $u_C = U_0 = 2$ V. Données : I = 100 A (courant constant) ; u_C(t = 0) = 0 V ; t₀ = 52 s ; U₀ = 2 V ; R = 9 Ω (résistance de décharge) ; u_C(t₁) = U₁ = 1.65 V ; τ = RC À l'instant $t_0$, on bascule l'interrupteur K à la position 1. Ce condensateur se déchargera à travers une résistance $R = 9\ \Omega$ jusqu'à l'instant $t_1$ où $u_C(t_1) = U_1 = 1{,}65$ V. On pose $\tau = RC$. Durant la décharge de ce condensateur, l'expression de la tension $u_C(t)$ est égale à :

u_C(t) = U_0 e^{-(t-t_0)/\tau} = 2 e^{-(t-t_0)/\tau}

u_C(t) = U_0 e^{(t-t_0)/\tau} = 2 e^{-(t-t_0)/\tau}

u_C(t) = U_0 e^{+(t-t_0)/\tau} = 2 e^{-(t-t_0)/\tau}

u_C(t) = U_0 e^{-(t-t_0)/\tau} = 4 e^{-(t-t_0)/\tau}

u_C(t) = U_0 e^{--(t-t_0)/\tau} = 2 e^{-(t-t_0)/\tau}

Un supercondensateur est modélisé par l'association en série d'un conducteur ohmique de résistance $R_S$ et un condensateur de capacité $C_S$. On cherche à identifier de manière expérimentale les paramètres $R_S$ et $C_S$ de ce supercondensateur. Pour cela, à l'instant $t = 0$, on alimente le supercondensateur, initialement chargé sous la tension $u_0 = 1{,}55$ V, par une source de courant d'intensité constante $I = 100$ A pendant la durée $\Delta t = 10$ s ( Données : u₀ = 1.55 V ; I = 100 A ; Δt = 10 s ; u₁ = 5/3 V La tension $u_C(t)$ vérifie l'équation différentielle suivante :

$u_C = R_S I + (I/C_S) t + u_0 - R_S I, c'est-à-dire du_C/dt = I/C_S avec saut initial R_S·I$

Un supercondensateur est modélisé par l'association en série d'un conducteur ohmique de résistance $R_S$ et un condensateur de capacité $C_S$. On cherche à identifier de manière expérimentale les paramètres $R_S$ et $C_S$ de ce supercondensateur. Pour cela, à l'instant $t = 0$, on alimente le supercondensateur, initialement chargé sous la tension $u_0 = 1{,}55$ V, par une source de courant d'intensité constante $I = 100$ A pendant la durée $\Delta t = 10$ s ( Données : u₀ = 1.55 V ; I = 100 A ; Δt = 10 s ; u₁ = 5/3 V En tenant compte des conditions initiales, l'expression de la tension $u_C(t)$ en fonction du temps est :

$u_C(t) = (I/C_S)t + R_S·I + u_0$

On réalise un circuit électrique comportant un générateur de tension continue $E = 50$ V, un interrupteur de courant K, trois condensateurs de même capacité C, une résistance R et une bobine d'inductance L et de résistance interne négligeable (Figure 3). À l'instant $t = 0$ s, on positionne l'interrupteur K en position 0. On suppose que les condensateurs sont initialement chargés et les tensions à leurs bornes vérifient la relation $u_1(t = 0) = u_2(t = 0) = 5$ V. À l'instant $t = 5$ ms, un système de mesure permet de relever les grandeurs suivantes : $U(5\ ms) = 35{,}28$ V et $I_1(5\ ms) = 736$ mA. Données : E = 50 V ; u₁(t = 0) = u₂(t = 0) = 5 V ; U(5 ms) = 35.28 V ; I₁(5 ms) = 736 mA Le courant $I_1(t)$ s'exprime comme suit : $I_1(t) = I_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$. Le couple $(I_0, \tau)$ a pour expression :

(I_0, τ) = (B/R, 6RC/2) = (2, 3RC/2)

$(I_0, τ) = (B/R, 3RC/2) = (2, 3RC/2)$

(I_0, τ) = (B/R, 3RC/4) = (2, 3RC/2)

On réalise un circuit électrique comportant un générateur de tension continue $E = 50$ V, un interrupteur de courant K, trois condensateurs de même capacité C, une résistance R et une bobine d'inductance L et de résistance interne négligeable (Figure 3). À l'instant $t = 0$ s, on positionne l'interrupteur K en position 0. On suppose que les condensateurs sont initialement chargés et les tensions à leurs bornes vérifient la relation $u_1(t = 0) = u_2(t = 0) = 5$ V. À l'instant $t = 5$ ms, un système de mesure permet de relever les grandeurs suivantes : $U(5\ ms) = 35{,}28$ V et $I_1(5\ ms) = 736$ mA. Données : E = 50 V ; u₁(t = 0) = u₂(t = 0) = 5 V ; U(5 ms) = 35.28 V ; I₁(5 ms) = 736 mA Un système d'enregistrement permet de déterminer l'expression du courant établi dans le circuit comme suit : $i_2(t) = 2{,}5 \sin\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right)$ en A où $T_0$ est la période propre des oscillations dans le circuit. La valeur de l'inductance L en mH est :

L ≈ 140 mH (valeur dépendant de T₀)

$L ≈ 120 mH (valeur dépendant de T₀)$

Un point matériel M se déplace sans frottements à l'intérieur d'une gouttière terminée par un cercle de rayon a. Il est lâché en A, d'une hauteur h, sans vitesse initiale (Figure 4). Données : a : rayon du cercle ; h : hauteur initiale Exprimer la norme $V_M$ de la vitesse du point M lorsqu'il est à l'intérieur du cercle en fonction de a, h, g et θ.

V_M = √(2g(h + a(1 - cos θ)))

V_M = √(4g(h - a(1 - cos θ)))

$V_M = √(2g(h - a(1 - cos θ)))$

Un point matériel M se déplace sans frottements à l'intérieur d'une gouttière terminée par un cercle de rayon a. Il est lâché en A, d'une hauteur h, sans vitesse initiale (Figure 4). Données : a : rayon du cercle ; h : hauteur initiale Déterminer l'intensité R de la réaction exercée par le support circulaire sur le point matériel en fonction de m, a, h, g et θ.

R = m(2g(h - a - a cos θ)/a + g cos θ) = mg(3 cos θ - 2 + 2h/a)

R = m(2g(h - a + a cos θ)/a + g cos θ) = mg(3 cos θ - 2 + 2h/a)

R = m(2g(h + a + a cos θ)/a + g cos θ) = mg(3 cos θ - 2 + 2h/a)

R = m(4g(h - a + a cos θ)/a + g cos θ) = mg(3 cos θ - 2 + 2h/a)

R = m(2g(h - a + a cos θ)/a + g cos θ) = mg(6 cos θ - 2 + 2h/a)

QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse. Partie C Étudions un convoyeur à colis présent dans un centre de tri postal de la On se propose de déterminer l'angle α pour que le convoyeur fonctionne correctement, c'est-à-dire pour que les colis arrivent en B avec la vitesse du deuxième tapis roulant. En plus de son poids, le colis de masse m subit par le plan incliné une force $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ avec $T = fN$ où $f = 0{,}4$ désigne le coefficient de frottement. On note $\gamma = \vec{\gamma}\ \vec{i}$ l'accélération d'un colis sur le trajet AB. Données : V_A = 0.2 m.s⁻¹ ; V_B = 0.5 m.s⁻¹ ; f = 0.4 (coefficient de frottement) ; h = 2m (hauteur du plan incliné) ; g = 10 m/s² Le travail de la réaction $\vec{R}$ sur le trajet AB est :

W(R)_{AB} = +fmgh/tan(α) = -fmg·AB·cos α = -fmgh·cos α/sin α

$W(R)_{AB} = -fmgh/tan(α) = -fmg·AB·cos α = -fmgh·cos α/sin α$

QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse. Partie C Étudions un convoyeur à colis présent dans un centre de tri postal de la On se propose de déterminer l'angle α pour que le convoyeur fonctionne correctement, c'est-à-dire pour que les colis arrivent en B avec la vitesse du deuxième tapis roulant. En plus de son poids, le colis de masse m subit par le plan incliné une force $\vec{R} = -T\vec{i} + N\vec{j}$ avec $T = fN$ où $f = 0{,}4$ désigne le coefficient de frottement. On note $\gamma = \vec{\gamma}\ \vec{i}$ l'accélération d'un colis sur le trajet AB. Données : V_A = 0.2 m.s⁻¹ ; V_B = 0.5 m.s⁻¹ ; f = 0.4 (coefficient de frottement) ; h = 2m (hauteur du plan incliné) ; g = 10 m/s² L'expression de $\tan(\alpha)$ est :

tan(α) = 2fgh / (2gh + V_B² + V_A²)

tan(α) = 4fgh / (2gh - V_B² + V_A²)

tan(α) = 2fgh / (2gh - V_B² - V_A²)

$tan(α) = 2fgh / (2gh - V_B² + V_A²)$

Les sous parties D.1 et D.2 sont indépendantes. D.1) Un point matériel M de masse m est susceptible de se déplacer sans frottements sur un axe horizontal. Il est soumis à l'action de 2 ressorts de même longueur à vide $l_0 = 20$ cm et de constantes de raideur différentes $k_1$ et $k_2$. Les autres extrémités des ressorts sont attachées à deux supports fixes $(S_1)$ et $(S_2)$ distants de d (voir Figure 6). On donne : $m = 4$ kg ; $k_1 = 100$ N/m ; $k_2 = 300$ N/m et $d = 60$ cm. On choisit la position d'équilibre de M comme origine O de l'axe (Ox). On écarte M de sa position d'équilibre jusqu'à la position d'abscisse $x_m > 0$ puis on le lâche à $t = 0$ sans vitesse initiale. À tout instant t, le point matériel M est repéré par son abscisse $x(t)$ (figure 6). On choisit la position du repos de chaque ressort (ressort n'est ni allongé ni comprimé) comme origine de l'énergie potentielle élastique et on pose $E_0 = \frac{1}{2}k_1(l_{e1} - l_0)^2$. Données : m = 4 kg ; k₁ = 100 N/m ; k₂ = 300 N/m ; l₀ = 20 cm ; d = 60 cm ; E₀ = (1/2)k₁(l_{e1} - l₀)² Les longueurs ($l_{e1}$, $l_{e2}$) des 2 ressorts à l'équilibre sont (en cm) :

$(l_e1, l_e2) = (25 cm, 35 cm)$

Les sous parties D.1 et D.2 sont indépendantes. D.1) Un point matériel M de masse m est susceptible de se déplacer sans frottements sur un axe horizontal. Il est soumis à l'action de 2 ressorts de même longueur à vide $l_0 = 20$ cm et de constantes de raideur différentes $k_1$ et $k_2$. Les autres extrémités des ressorts sont attachées à deux supports fixes $(S_1)$ et $(S_2)$ distants de d (voir Figure 6). On donne : $m = 4$ kg ; $k_1 = 100$ N/m ; $k_2 = 300$ N/m et $d = 60$ cm. On choisit la position d'équilibre de M comme origine O de l'axe (Ox). On écarte M de sa position d'équilibre jusqu'à la position d'abscisse $x_m > 0$ puis on le lâche à $t = 0$ sans vitesse initiale. À tout instant t, le point matériel M est repéré par son abscisse $x(t)$ (figure 6). On choisit la position du repos de chaque ressort (ressort n'est ni allongé ni comprimé) comme origine de l'énergie potentielle élastique et on pose $E_0 = \frac{1}{2}k_1(l_{e1} - l_0)^2$. Données : m = 4 kg ; k₁ = 100 N/m ; k₂ = 300 N/m ; l₀ = 20 cm ; d = 60 cm ; E₀ = (1/2)k₁(l_{e1} - l₀)² L'énergie potentielle élastique totale du point matériel M pour une position d'abscisse $x(t)$ s'écrit : $E_{P_e} = \frac{1}{2}\alpha x^2 + (1 + \beta)E_0$. Le couple $(\alpha, \beta)$ est :

(α, β) = (k₁ - k₂, k₂/k₁) = (400, 3)

$(α, β) = (k₁ + k₂, k₂/k₁) = (400, 3)$

(α, β) = (k₁ + k₂, k₂/k₁) = (400, 6)

D.2) On considère le système illustré dans la Figure 7 où le point matériel M de masse m est astreint à se déplacer sans frottements le long d'un demi-cercle de rayon a. Le point M est attaché à un ressort $(k, l_0)$ dont l'autre extrémité est fixée en O' ($OO' = a$). Le point M est repéré par l'angle $\theta = (Ox, OM)$. Pour une position θ de M, on admet que : - la longueur du ressort est $l = O'M = 2a\cos(\frac{\theta}{2})$ - L'angle $O\hat{M}O' = \frac{\theta}{2}$ Pour simplifier le problème, on pose : $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ ; $g^* = \frac{g}{a}$ ; $\frac{\omega^2}{g^*} = \frac{l_0}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Données : l = O'M = 2a cos(θ/2) ; Angle OM̂O' = θ/2 ; ω = √(k/m) ; g* = g/a ; ω²/g* = l₀/a = √3/2 L'équation différentielle vérifiée par $\theta(t)$ s'écrit : $\ddot{\theta} = \omega^2\left(a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + \beta\right)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$. Le couple $(\alpha, \beta)$ est :

(α, β) = (1, -l₀/(4a)) ou selon la forme exacte de l'équation

$(α, β) = (1, -l₀/(2a)) ou selon la forme exacte de l'équation$

(α, β) = (1, +l₀/(2a)) ou selon la forme exacte de l'équation

D.2) On considère le système illustré dans la Figure 7 où le point matériel M de masse m est astreint à se déplacer sans frottements le long d'un demi-cercle de rayon a. Le point M est attaché à un ressort $(k, l_0)$ dont l'autre extrémité est fixée en O' ($OO' = a$). Le point M est repéré par l'angle $\theta = (Ox, OM)$. Pour une position θ de M, on admet que : - la longueur du ressort est $l = O'M = 2a\cos(\frac{\theta}{2})$ - L'angle $O\hat{M}O' = \frac{\theta}{2}$ Pour simplifier le problème, on pose : $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ ; $g^* = \frac{g}{a}$ ; $\frac{\omega^2}{g^*} = \frac{l_0}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Données : l = O'M = 2a cos(θ/2) ; Angle OM̂O' = θ/2 ; ω = √(k/m) ; g* = g/a ; ω²/g* = l₀/a = √3/2 On s'intéresse au cas des petits angles ($\theta \ll 1$). On rappelle qu'en cas de petits angles u ≪ 1 on a : $\sin(u) \approx u$ et $\cos(u) \approx 1$. L'équation différentielle précédente se simplifie en : $\ddot{\theta} = \eta\omega^2\theta$. Le coefficient η est égal à :

$η = (α + β)/2, avec les valeurs trouvées précédemment$

η = (α - β)/2, avec les valeurs trouvées précédemment

η = (α + β)/4, avec les valeurs trouvées précédemment

D.2) On considère le système illustré dans la Figure 7 où le point matériel M de masse m est astreint à se déplacer sans frottements le long d'un demi-cercle de rayon a. Le point M est attaché à un ressort $(k, l_0)$ dont l'autre extrémité est fixée en O' ($OO' = a$). Le point M est repéré par l'angle $\theta = (Ox, OM)$. Pour une position θ de M, on admet que : - la longueur du ressort est $l = O'M = 2a\cos(\frac{\theta}{2})$ - L'angle $O\hat{M}O' = \frac{\theta}{2}$ Pour simplifier le problème, on pose : $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ ; $g^* = \frac{g}{a}$ ; $\frac{\omega^2}{g^*} = \frac{l_0}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Données : l = O'M = 2a cos(θ/2) ; Angle OM̂O' = θ/2 ; ω = √(k/m) ; g* = g/a ; ω²/g* = l₀/a = √3/2 Peut-on envisager, en cas de petits angles, une solution sinusoïdale $\theta(t)$ autour de la position ($\theta = 0$) ?

$Oui, car η < 0, ce qui donne un mouvement oscillatoire harmonique$

ENSAM Physique 2023 - Question 30 of 48

On reprend l'énoncé précédent et on suppose qu'en plus du poids, la masse ponctuelle subit une force de frottement verticale qui s'oppose au vecteur vitesse et d'intensité constante : $f = 0, 5$ N. Donner : \nDonnées : f = 0.5 N (force de frottement constante) ; m = 0.2 kg ; V₀ = 10 m.s⁻¹ ; g = 10 m/s²

\nL'expression de la norme

V_{0}^{'}

de la vitesse de M quand il repasse par le point O, en fonction de m, g, f et

V_{0}

V_{0}^{'} = V_{0} \sqrt ((m g - f) / (m g + f))

B. V'₀ = V₀ √((mg - f)/(mg - f))

1

D. V'₀ = V₀ √((mg + f)/(mg + f))

0