Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. Pour $n \in \mathbb{N}$, soit $S_n = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \cdots - \frac{1}{3^n}$. Choisir la bonne réponse.

$S_n = 1 - (1/2)(1 - (1/3)^n) / (1 - 1/3) → 1/4 quand n → +∞. La suite converge vers 1/4.$

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. Soit $\begin{cases} u_0 = \frac{1}{2} \\ u_{n+1} = \sqrt[3]{u_n^2 + 2u_n}, \; \forall n \geq 0 \end{cases}$. Sachant que la suite $(u_n)_n$ est croissante, choisir la bonne réponse :

La suite converge et sa limite est ℓ = 6

$La suite converge et sa limite est ℓ = 3$

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{x^2 - \cos(x)}{x}$ si $x \neq 0$ et $f(0) = 0$, et soit $C_f$ la courbe représentative de $f$. Choisir la bonne réponse.

$f n'est pas continue en 0 (donc non dérivable en 0), et C_f n'admet pas de tangente en 0$

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. Soit $f(x) = \frac{e^x}{\sqrt{x}} - \frac{\ln(x)}{1+x}$. La courbe représentative $C_f$ de $f$ admet en $+\infty$ :

$Pas d'asymptote en +∞ (la fonction tend vers +∞), une branche parabolique de direction (Oy)$

Pas d'asymptote en -∞ (la fonction tend vers +∞), une branche parabolique de direction (Oy)

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. Pour $z \in \mathbb{C}$, on note par $M(z)$ le point du plan complexe d'affixe $z$. L'ensemble $A = \{M(z) : 2z + 2\bar{z} + z\bar{z} = 0\}$ est :

$Un cercle de centre (-2, 0) et de rayon 2$

Un cercle de centre (+2, 0) et de rayon 2

Un cercle de centre (-4, 0) et de rayon 2

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. Pour $n \in \mathbb{N}$, soit $I_n = \int_0^1 \frac{1}{1+x^n} dx$ et $J_n = \int_0^1 \frac{1}{1+x^n} dx$. Choisir la bonne réponse.

I_n → 1 quand n → -∞, et I_n + J_n = 1 si J_n = ∫₀¹ x^n/(1+x^n) dx

$I_n → 1 quand n → +∞, et I_n + J_n = 1 si J_n = ∫₀¹ x^n/(1+x^n) dx$

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}^*$ telle que $f(x-y) = f(x)f(y)$, $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$. Choisir la bonne réponse.

f(0) = (f(0))² donc f(0) = 1, et f est paire : f(+x) = f(x), mais aussi f(x)f(-x) = f(0) = 1, donc f(x) · f(x) = 1 (si f paire), d'où f(x) = 1 pour tout x

$f(0) = (f(0))² donc f(0) = 1, et f est paire : f(-x) = f(x), mais aussi f(x)f(-x) = f(0) = 1, donc f(x) · f(x) = 1 (si f paire), d'où f(x) = 1 pour tout x$

Pour chaque question qui suit, écrire la réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. Chaque réponse est notée sur 2pts. En donnant la forme géométrique et la forme algébrique du nombre complexe $\frac{1+i\sqrt{3}}{2-2i}$, déterminer la valeur de $\tan\left(\frac{7\pi}{12}\right)$.

\tan\left(\frac{7\pi}{12}\right) = +(2 + \sqrt{3})

\tan\left(\frac{7\pi}{12}\right) = -(2 + \sqrt{3})

\tan\left(\frac{7\pi}{12}\right) = -(2 - \sqrt{3})

\tan\left(\frac{7\pi}{14}\right) = -(2 + \sqrt{3})

\tan\left(\frac{7\pi}{12}\right) = -(2 + \sqrt{6})

Pour chaque question qui suit, écrire la réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. Chaque réponse est notée sur 2pts. Soit $f(x) = \frac{\sqrt{x} e^x}{e^x + 1}$ et soit $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ tel que : $\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1$ cm. Calculer le volume $V$ du solide engendré par la rotation de $C_f$ autour de l'axe des abscisses et délimité par les plans d'équations $x = 0$ et $x = 1$.

$V = π[1/2 - ln(1 + 1/e)] cm³$

Pour chaque question qui suit, écrire la réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. Chaque réponse est notée sur 2pts. On considère l'équation différentielle $(E) : y'' - 2y' + 2y = \cos(x) + 2\sin(x)$. Sachant que la fonction $x \mapsto \cos(x)$ est une solution de $(E)$, déterminer la solution particulière $y_0$ de $(E)$ telle sa courbe représentative passe par l'origine $O$ et ayant une tangente en $O$ de coefficient directeur $-1$.

y_0(x) = -e^x \sin(x) - \cos(x)

$y_0(x) = -e^x \sin(x) + \cos(x)$

y_0(x) = +e^x \sin(x) + \cos(x)

Pour chaque question qui suit, écrire la réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. Chaque réponse est notée sur 2pts. Une boîte en carton parallélépipède rectangle ouverte sur le dessus a un volume de 32 cm³ et une arête de la base de dessous de longueur 4 cm. Quelles doivent être ses dimensions pour que sa surface totale soit minimale.

$Dimensions : 4 cm × 4 cm × 2 cm$

Dimensions : 4 cm × 4 cm × 4 cm

ENSAM Mathématiques 2023 - Question 23 of 25

Pour chaque question qui suit, écrire la réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. Chaque réponse est notée sur 2pts.

\nDans l'espace muni d'un repère orthonormé d'origine

O

, on considère la sphère

S

d'équation cartésienne :

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 y - 2 z = 0

. Déterminer l'équation cartésienne du plan

(P)

tangent à la sphère

S

au point

O

- 1

1

y + z = 0

0

E. y - z = 0