Pour chaque question qui suit, écrire la réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. (Chaque réponse est notée sur 2pts) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectivement $a = -\sqrt{3} + i$ et $b = i\bar{a}$. Soit $C$ l'image de $A$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ et soit $c$ l'affixe du point $C$. Donner la forme trigonométrique du nombre complexe $Z = \frac{b}{c}$ et déduire la nature du triangle $OBC$.

Z = e^(iπ/4), |Z|=1, arg(Z)=π/2. Triangle OBC isocèle rectangle en O.

$Z = e^(iπ/2), |Z|=1, arg(Z)=π/2. Triangle OBC isocèle rectangle en O.$

Pour chaque question qui suit, écrire la réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. (Chaque réponse est notée sur 2pts) Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A(\sqrt{2}, -1, 2)$, $B(3, -\sqrt{3}, 1)$, $C(1, -2, -1)$ et la sphère $\mathcal{S}$ d'équation cartésienne $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 2z + 1 = 0$. Déterminer l'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et le plan $(ABC)$.

Cercle de centre C(1,-4,-1) et de rayon √5 dans le plan (ABC)

Cercle de centre C(1,+2,-1) et de rayon √5 dans le plan (ABC)

$Cercle de centre C(1,-2,-1) et de rayon √5 dans le plan (ABC)$

Pour chaque question qui suit, écrire la réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. (Chaque réponse est notée sur 2pts) On considère l'équation différentielle $(E) : y'' - 4y' + 4y = (x - 2)e^x$. Sachant que la fonction $x \mapsto xe^x$ est une solution de $(E)$, déterminer la solution particulière $y_0$ de $(E)$ telle que sa courbe représentative passe par le point $A(0, -2)$ et ayant une tangente en $A$ parallèle à l'axe des abscisses.

y₀(x) = (-2 + 3x)e^(2x) + xe^x

y₀(x) = (-2 - 3x)e^(2x) + xe^x

y₀(x) = (-2 + 6x)e^(2x) + xe^x

y₀(x) = (-4 + 3x)e^(2x) + xe^x

y₀(x) = (+2 + 3x)e^(2x) + xe^x

ENSAM Mathématiques 2022 - Question 15 of 25

Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la feuille des réponses. (Une réponse correcte = 2pts, aucune réponse, plus d'une réponse ou une réponse fausse = 0pts)

\nLe nombre entier naturel

1^{2021} + 2^{2021} + \dots + 4^{2021}

est :

A. multiple de 5

B. impair

C. non divisible par 5

D. premier

E. autre réponse