Dans toute cette partie mécanique on suppose que l'intensité de pesanteur est constante et de module égal à : $g = 10 \text{ m/s}^2$. Les parties A, B et C sont indépendantes. Partie A (Rédaction : On écrit seulement le résultat final sur la fiche de réponse) Un camion de masse m=15000Kg part, à t=0, sans vitesse initiale sur une route rectiligne et horizontale et à l'instant 40s, la vitesse devient 72km/h. On néglige les frottements et on suppose que le moteur du véhicule exerce une force $\vec{F}$ constante et parallèle à la trajectoire. Déterminer : 1- La valeur numérique γ de la norme de l'accélération du centre d'inertie du camion. 2- La valeur numérique de l'intensité F de la force $\vec{F}$. 3- La valeur numérique du travail W de la force $\vec{F}$ durant l'intervalle de temps [0, 40s]. 4- Pour tout instant t, la puissance instantanée P(t) de la force $\vec{F}$ en fonction de F, m et t. Le camion aborde sans vitesse initiale, en montée et selon la ligne de plus grande pente, une route rectiligne inclinée d'un angle α=20° par rapport à l'horizontal. On suppose également que le moteur du véhicule exerce une force $\vec{F}$ constante parallèle à la trajectoire et que les frottements sont négligeables. Sachant que le camion parcourt la distance d=500 m pendant une durée Δt=40 s. Déterminer : 5- La valeur de la norme γ de l'accélération du centre d'inertie du camion. 6- La valeur de l'intensité F de la force $\vec{F}$. 7- En réalité, avec la valeur précédente de F, et à cause des frottements le camion parcourt la distance d=500m pendant une durée Δt'> Δt. On suppose que les frottements sont équivalents à une force $\vec{f}$ constante qui s'oppose au mouvement. Déterminer la norme f de $\vec{f}$ en fonction de m, d, Δt et Δt'. Données : g = 10 m/s² ; m = 15000 Kg ; Vitesse initiale = 0 ; À t = 40s, v = 72 km/h ; α = 20° (angle d'inclinaison) ; d = 500 m ; Δt = 40 s La valeur numérique du travail W de la force $\vec{F}$ durant l'intervalle de temps [0, 40s].

$W = 3 \times 10^6 \text{ J} = 3 \text{ MJ}$

$W = 6 \times 10^6 \text{ J} = 3 \text{ MJ}$

Dans toute cette partie mécanique on suppose que l'intensité de pesanteur est constante et de module égal à : $g = 10 \text{ m/s}^2$. Les parties A, B et C sont indépendantes. Partie A (Rédaction : On écrit seulement le résultat final sur la fiche de réponse) Un camion de masse m=15000Kg part, à t=0, sans vitesse initiale sur une route rectiligne et horizontale et à l'instant 40s, la vitesse devient 72km/h. On néglige les frottements et on suppose que le moteur du véhicule exerce une force $\vec{F}$ constante et parallèle à la trajectoire. Déterminer : 1- La valeur numérique γ de la norme de l'accélération du centre d'inertie du camion. 2- La valeur numérique de l'intensité F de la force $\vec{F}$. 3- La valeur numérique du travail W de la force $\vec{F}$ durant l'intervalle de temps [0, 40s]. 4- Pour tout instant t, la puissance instantanée P(t) de la force $\vec{F}$ en fonction de F, m et t. Le camion aborde sans vitesse initiale, en montée et selon la ligne de plus grande pente, une route rectiligne inclinée d'un angle α=20° par rapport à l'horizontal. On suppose également que le moteur du véhicule exerce une force $\vec{F}$ constante parallèle à la trajectoire et que les frottements sont négligeables. Sachant que le camion parcourt la distance d=500 m pendant une durée Δt=40 s. Déterminer : 5- La valeur de la norme γ de l'accélération du centre d'inertie du camion. 6- La valeur de l'intensité F de la force $\vec{F}$. 7- En réalité, avec la valeur précédente de F, et à cause des frottements le camion parcourt la distance d=500m pendant une durée Δt'> Δt. On suppose que les frottements sont équivalents à une force $\vec{f}$ constante qui s'oppose au mouvement. Déterminer la norme f de $\vec{f}$ en fonction de m, d, Δt et Δt'. Données : g = 10 m/s² ; m = 15000 Kg ; Vitesse initiale = 0 ; À t = 40s, v = 72 km/h ; α = 20° (angle d'inclinaison) ; d = 500 m ; Δt = 40 s La valeur de la norme γ de l'accélération du centre d'inertie du camion (sur la route inclinée).

$\gamma = 0{,}625 \text{ m/s}^2$

$\gamma = 0{,}645 \text{ m/s}^2$

Dans toute cette partie mécanique on suppose que l'intensité de pesanteur est constante et de module égal à : $g = 10 \text{ m/s}^2$. Les parties A, B et C sont indépendantes. Partie A (Rédaction : On écrit seulement le résultat final sur la fiche de réponse) Un camion de masse m=15000Kg part, à t=0, sans vitesse initiale sur une route rectiligne et horizontale et à l'instant 40s, la vitesse devient 72km/h. On néglige les frottements et on suppose que le moteur du véhicule exerce une force $\vec{F}$ constante et parallèle à la trajectoire. Déterminer : 1- La valeur numérique γ de la norme de l'accélération du centre d'inertie du camion. 2- La valeur numérique de l'intensité F de la force $\vec{F}$. 3- La valeur numérique du travail W de la force $\vec{F}$ durant l'intervalle de temps [0, 40s]. 4- Pour tout instant t, la puissance instantanée P(t) de la force $\vec{F}$ en fonction de F, m et t. Le camion aborde sans vitesse initiale, en montée et selon la ligne de plus grande pente, une route rectiligne inclinée d'un angle α=20° par rapport à l'horizontal. On suppose également que le moteur du véhicule exerce une force $\vec{F}$ constante parallèle à la trajectoire et que les frottements sont négligeables. Sachant que le camion parcourt la distance d=500 m pendant une durée Δt=40 s. Déterminer : 5- La valeur de la norme γ de l'accélération du centre d'inertie du camion. 6- La valeur de l'intensité F de la force $\vec{F}$. 7- En réalité, avec la valeur précédente de F, et à cause des frottements le camion parcourt la distance d=500m pendant une durée Δt'> Δt. On suppose que les frottements sont équivalents à une force $\vec{f}$ constante qui s'oppose au mouvement. Déterminer la norme f de $\vec{f}$ en fonction de m, d, Δt et Δt'. Données : g = 10 m/s² ; m = 15000 Kg ; Vitesse initiale = 0 ; À t = 40s, v = 72 km/h ; α = 20° (angle d'inclinaison) ; d = 500 m ; Δt = 40 s La valeur de l'intensité F de la force $\vec{F}$ (sur la route inclinée).

$F = 60\,600 \text{ N} \approx 6{,}06 \times 10^4 \text{ N}$

Dans toute cette partie mécanique on suppose que l'intensité de pesanteur est constante et de module égal à : $g = 10 \text{ m/s}^2$. Les parties A, B et C sont indépendantes. Partie A (Rédaction : On écrit seulement le résultat final sur la fiche de réponse) Un camion de masse m=15000Kg part, à t=0, sans vitesse initiale sur une route rectiligne et horizontale et à l'instant 40s, la vitesse devient 72km/h. On néglige les frottements et on suppose que le moteur du véhicule exerce une force $\vec{F}$ constante et parallèle à la trajectoire. Déterminer : 1- La valeur numérique γ de la norme de l'accélération du centre d'inertie du camion. 2- La valeur numérique de l'intensité F de la force $\vec{F}$. 3- La valeur numérique du travail W de la force $\vec{F}$ durant l'intervalle de temps [0, 40s]. 4- Pour tout instant t, la puissance instantanée P(t) de la force $\vec{F}$ en fonction de F, m et t. Le camion aborde sans vitesse initiale, en montée et selon la ligne de plus grande pente, une route rectiligne inclinée d'un angle α=20° par rapport à l'horizontal. On suppose également que le moteur du véhicule exerce une force $\vec{F}$ constante parallèle à la trajectoire et que les frottements sont négligeables. Sachant que le camion parcourt la distance d=500 m pendant une durée Δt=40 s. Déterminer : 5- La valeur de la norme γ de l'accélération du centre d'inertie du camion. 6- La valeur de l'intensité F de la force $\vec{F}$. 7- En réalité, avec la valeur précédente de F, et à cause des frottements le camion parcourt la distance d=500m pendant une durée Δt'> Δt. On suppose que les frottements sont équivalents à une force $\vec{f}$ constante qui s'oppose au mouvement. Déterminer la norme f de $\vec{f}$ en fonction de m, d, Δt et Δt'. Données : g = 10 m/s² ; m = 15000 Kg ; Vitesse initiale = 0 ; À t = 40s, v = 72 km/h ; α = 20° (angle d'inclinaison) ; d = 500 m ; Δt = 40 s En réalité, avec la valeur précédente de F, et à cause des frottements le camion parcourt la distance d=500m pendant une durée Δt'> Δt. On suppose que les frottements sont équivalents à une force $\vec{f}$ constante qui s'oppose au mouvement. Déterminer la norme f de $\vec{f}$ en fonction de m, d, Δt et Δt'.

$f = 4md \left(\frac{1}{(\Delta t)^2} - \frac{1}{(\Delta t')^2}\right)$

$f = 2md \left(\frac{1}{(\Delta t)^2} + \frac{1}{(\Delta t')^2}\right)$

$f = 2md \left(\frac{1}{(\Delta t)^2} - \frac{1}{(\Delta t')^2}\right)$

Partie B (QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse) Un projectile (A), assimilé à un point matériel de masse m, est lancé à t=0 d'un point O, origine d'un repère orthonormée direct (Oxyz), avec une vitesse $\vec{V_0}$ contenue dans le plan vertical (Oxz) et faisant l'angle α=30° avec l'axe horizontal (Ox) (figure 1). On donne $V_0 = 100$ m/s. Données : g = 10 m/s² ; α = 30° ; V₀ = 100 m/s Le couple $(X_S, Z_S)$ des coordonnées du sommet S de la trajectoire du projectile est :

$(X_S, Z_S) = (250\sqrt{6}, 125)$ m, soit environ $(433, 125)$ m

$(X_S, Z_S) = (450\sqrt{3}, 125)$ m, soit environ $(433, 125)$ m

$(X_S, Z_S) = (2502\sqrt{3}, 125)$ m, soit environ $(433, 125)$ m

$(X_S, Z_S) = (250\sqrt{3}, 125)$ m, soit environ $(433, 125)$ m

Partie B (QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse) Un projectile (A), assimilé à un point matériel de masse m, est lancé à t=0 d'un point O, origine d'un repère orthonormée direct (Oxyz), avec une vitesse $\vec{V_0}$ contenue dans le plan vertical (Oxz) et faisant l'angle α=30° avec l'axe horizontal (Ox) (figure 1). On donne $V_0 = 100$ m/s. Données : g = 10 m/s² ; α = 30° ; V₀ = 100 m/s Le module $V_S$ de la vitesse au sommet S est :

$V_S = 50\sqrt{3} \approx 86{,}6$ m/s

$V_S = 50\sqrt{6} \approx 86{,}6$ m/s

$V_S = 502\sqrt{3} \approx 86{,}6$ m/s

Pour les poulies considérées dans cette partie, le moment d'inertie par rapport à l'axe (Δ) d'une poulie de rayon R de masse M est donné par : $J_\Delta = MR^2$. Les fils qui s'enroulent sur les gorges des poulies sont inextensibles et de masses négligeables. On considère le système de la À l'instant t=0, on libère le système sans vitesse initiale. On admet que l'énergie mécanique totale du système est : $E_m = (M + \frac{3}{2}m)\dot{z}^2 - mgz$ Avec z est l'abscisse du centre d'inertie du corps $(C_1)$ sur l'axe (Oz). Données : g = 10 m/s² ; J_Δ = MR² ; M = 2 Kg (masse de chaque poulie) ; R = 24 cm (rayon des poulies) ; m = 0.5 Kg ; Masse de C₁ = 2m ; Masse de C₂ = m ; Hauteur des poulies = 2m par rapport au sol ; E_m = (M + 3m/2)ż² - mgz La vitesse angulaire $\omega_1$ de $(P_1)$ à cet instant est :

$\omega_1 \approx 11{,}9$ rad/s

Pour les poulies considérées dans cette partie, le moment d'inertie par rapport à l'axe (Δ) d'une poulie de rayon R de masse M est donné par : $J_\Delta = MR^2$. Les fils qui s'enroulent sur les gorges des poulies sont inextensibles et de masses négligeables. On considère le système de la À l'instant t=0, on libère le système sans vitesse initiale. On admet que l'énergie mécanique totale du système est : $E_m = (M + \frac{3}{2}m)\dot{z}^2 - mgz$ Avec z est l'abscisse du centre d'inertie du corps $(C_1)$ sur l'axe (Oz). Données : g = 10 m/s² ; J_Δ = MR² ; M = 2 Kg (masse de chaque poulie) ; R = 24 cm (rayon des poulies) ; m = 0.5 Kg ; Masse de C₁ = 2m ; Masse de C₂ = m ; Hauteur des poulies = 2m par rapport au sol ; E_m = (M + 3m/2)ż² - mgz À l'équilibre du système la relation entre k, m, g et $\Delta l_e$ est :

$k \Delta l_e = mg(4 + \sin \alpha)$, soit avec les données : $k \Delta l_e = \frac{5mg}{2}$

$k \Delta l_e = mg(2 + \sin \alpha)$, soit avec les données : $k \Delta l_e = \frac{5mg}{2}$

$k \Delta l_e = mg(2 - \sin \alpha)$, soit avec les données : $k \Delta l_e = \frac{5mg}{2}$

On réalise un circuit électrique comportant une bobine d'inductance L et de résistance interne r, deux dipôles ohmiques de même résistance R montés en parallèle, deux condensateurs identiques de capacité C montés en parallèle non chargés initialement, un dipôle ohmique de résistance R et des interrupteurs de courant $K_1$, $K_2$ et $K_3$ (figure 1). L'ensemble est alimenté par un générateur de tension de force électromotrice (f.é.m.) E. On donne : $E = 5V$, $R = 20\ \Omega$. • Détermination des caractéristiques de la bobine (L, r) À l'instant t = 0, on ferme les interrupteurs $K_1$ et $K_3$ ($K_2$ est toujours ouvert). Données : E = 5 V ; R = 20 Ω L'équation différentielle vérifiée par l'intensité instantanée du courant $i(t)$ traversant le circuit s'écrit comme suit :

$L\frac{di}{dt} + (r + R)i = E$

On réalise un circuit électrique comportant une bobine d'inductance L et de résistance interne r, deux dipôles ohmiques de même résistance R montés en parallèle, deux condensateurs identiques de capacité C montés en parallèle non chargés initialement, un dipôle ohmique de résistance R et des interrupteurs de courant $K_1$, $K_2$ et $K_3$ (figure 1). L'ensemble est alimenté par un générateur de tension de force électromotrice (f.é.m.) E. On donne : $E = 5V$, $R = 20\ \Omega$. • Détermination des caractéristiques de la bobine (L, r) À l'instant t = 0, on ferme les interrupteurs $K_1$ et $K_3$ ($K_2$ est toujours ouvert). Données : E = 5 V ; R = 20 Ω On note $I_0$ l'intensité du courant $i(t)$ en régime permanent. La solution de l'équation différentielle précédente s'écrit :

$i(t) = I_0 \left(1 - e^{-t/\tau}\right)$

On réalise un circuit électrique comportant une bobine d'inductance L et de résistance interne r, deux dipôles ohmiques de même résistance R montés en parallèle, deux condensateurs identiques de capacité C montés en parallèle non chargés initialement, un dipôle ohmique de résistance R et des interrupteurs de courant $K_1$, $K_2$ et $K_3$ (figure 1). L'ensemble est alimenté par un générateur de tension de force électromotrice (f.é.m.) E. On donne : $E = 5V$, $R = 20\ \Omega$. • Détermination des caractéristiques de la bobine (L, r) À l'instant t = 0, on ferme les interrupteurs $K_1$ et $K_3$ ($K_2$ est toujours ouvert). Données : E = 5 V ; R = 20 Ω On a tracé les variations de la grandeur $\frac{di(t)}{dt}$ en fonction de $i(t)$ et on a obtenu la courbe de la b. La résistance r de la bobine vaut : c. L'énergie emmagasinée dans la bobine en régime permanent est égale à :

$a. $L = 0{,}8$ H ; b. $r = 20$ Ω ; c. $E_L = 6{,}25 \times 10^{-3}$ J$

• Détermination de la capacité C des condensateurs À l'instant t = 0, on ferme les interrupteurs $K_1$ et $K_2$ et on ouvre $K_3$. 6. L'équation différentielle vérifiée par la tension $U_C(t)$ aux bornes des condensateurs est donnée par l'expression suivante : 7. La solution de l'équation différentielle précédente s'écrit : 8. Sachant que le pourcentage de la tension $U_C(t)$, à l'instant $t = 6{,}91$ ms, par rapport à sa valeur maximale $U_{Cmax}$ est : $\frac{U_C}{U_{Cmax}} = 99\%$, la capacité C des condensateurs a pour valeur : • Oscillations libres dans un circuit en série (RLC) Lorsque le régime permanent dans le circuit précédent est établi, on ferme $K_2$ et $K_3$ et on ouvre $K_1$ à un instant considéré comme une nouvelle origine du temps. Nous pouvons exprimer l'équation différentielle vérifiée par $U_R$ comme suit : $\frac{d^2U_R}{dt^2} + 2\lambda \frac{dU_R}{dt} + \frac{4\pi^2}{T_0^2} U_R = 0$ où λ et $T_0$ sont des constantes dont les expressions peuvent être déterminées en fonction des paramètres du circuit. Données : t = 6.91 ms ; U_C/U_{Cmax} = 99% ; T ≈ T₀ (pseudo-période ≈ période propre) ; T = 68.8 ms L'équation différentielle vérifiée par la tension $U_C(t)$ aux bornes des condensateurs est donnée par l'expression suivante :

$R \cdot 2C \frac{dU_C}{dt} - U_C = E$

$R \cdot 2C \frac{dU_C}{dt} + U_C = E$

$R \cdot 4C \frac{dU_C}{dt} + U_C = E$

• Détermination de la capacité C des condensateurs À l'instant t = 0, on ferme les interrupteurs $K_1$ et $K_2$ et on ouvre $K_3$. 6. L'équation différentielle vérifiée par la tension $U_C(t)$ aux bornes des condensateurs est donnée par l'expression suivante : 7. La solution de l'équation différentielle précédente s'écrit : 8. Sachant que le pourcentage de la tension $U_C(t)$, à l'instant $t = 6{,}91$ ms, par rapport à sa valeur maximale $U_{Cmax}$ est : $\frac{U_C}{U_{Cmax}} = 99\%$, la capacité C des condensateurs a pour valeur : • Oscillations libres dans un circuit en série (RLC) Lorsque le régime permanent dans le circuit précédent est établi, on ferme $K_2$ et $K_3$ et on ouvre $K_1$ à un instant considéré comme une nouvelle origine du temps. Nous pouvons exprimer l'équation différentielle vérifiée par $U_R$ comme suit : $\frac{d^2U_R}{dt^2} + 2\lambda \frac{dU_R}{dt} + \frac{4\pi^2}{T_0^2} U_R = 0$ où λ et $T_0$ sont des constantes dont les expressions peuvent être déterminées en fonction des paramètres du circuit. Données : t = 6.91 ms ; U_C/U_{Cmax} = 99% ; T ≈ T₀ (pseudo-période ≈ période propre) ; T = 68.8 ms La solution de l'équation différentielle précédente s'écrit :

$U_C(t) = E\left(1 - e^{--t/(2RC)}\right)$

$U_C(t) = E\left(1 - e^{t/(2RC)}\right)$

$U_C(t) = E\left(1 + e^{-t/(2RC)}\right)$

$U_C(t) = E\left(1 - e^{-t/(2RC)}\right)$

$U_C(t) = E\left(1 - e^{-t/(4RC)}\right)$

Décroissance radioactive (QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse) Remarque importante : les questions suivantes sont indépendantes. On considère un échantillon radioactif formée de $N_0$ nucléides radioactifs à l'instant $t = 0$. Ces derniers se désintègrent en fonction du temps. On note donc $N(t)$ le nombre de nucléides présents à l'instant t. On note $t_{1/2}$ la demi-vie de l'échantillon radioactif. $N(t)$ s'exprime en fonction de $N_0$, $t_{1/2}$ et t comme suit :

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/t_{1/2}}$ ou de façon équivalente $N(t) = N_0 e^{--\lambda t}$ avec $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$

$N(t) = N_0 \cdot 4^{-t/t_{1/2}}$ ou de façon équivalente $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ avec $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/t_{1/2}}$ ou de façon équivalente $N(t) = N_0 e^{\lambda t}$ avec $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/t_{1/2}}$ ou de façon équivalente $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ avec $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$

$N(t) = N_0 \cdot 2^{+t/t_{1/2}}$ ou de façon équivalente $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ avec $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$

Décroissance radioactive (QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse) Remarque importante : les questions suivantes sont indépendantes. Un radioélément de demi-vie $t_{1/2} = 15$ s a une activité initiale $A_0 = 3 \cdot 10^8$ Bq (à l'instant $t = 0$). a. L'activité de cet élément à l'instant $t = 45$ s est : b. Le nombre des nucléons présents à l'instant $t = 45$ s vaut :

a. $A(45) = 3{,}75 \times 10^7$ Bq ; b. $N(45) \approx 8{,}14 \times 10^8$ noyaux

$a. $A(45) = 3{,}75 \times 10^7$ Bq ; b. $N(45) \approx 8{,}12 \times 10^8$ noyaux$

a. $A(45) = 6{,}75 \times 10^7$ Bq ; b. $N(45) \approx 8{,}12 \times 10^8$ noyaux

Décroissance radioactive (QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse) Remarque importante : les questions suivantes sont indépendantes. La demi-vie de l'Iode $^{131}_{53}I$ de masse molaire 131 g/mol, utilisé en médecine est $t_{1/2} = 8{,}1$ jours. On donne : la constante d'Avogadro $N_A = 6{,}02 \cdot 10^{23}$ mol$^{-1}$. L'activité radioactive A de 1,0 g d'Iode 131 vaut :

$A \approx 4{,}56 \times 10^{15}$ Bq

Décroissance radioactive (QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de réponse) Remarque importante : les questions suivantes sont indépendantes. L'Astate 210 est un élément radioactif $\beta^+$ rare, présent avec des quantités infinitésimales dans l'Uranium pur, et sa demi-vie a pour valeur $t_{1/2} = 8$ h. On dispose d'un échantillon d'astate de masse m = 105 g. La masse restante au bout d'une demi-journée (12h) est :

$m(12\text{h}) \approx 67{,}1$ g

$m(14\text{h}) \approx 37{,}1$ g

$m(12\text{h}) \approx 37{,}1$ g

ENSAM Physique 2019 - Question 20 of 38

On considère maintenant un autre système représenté sur la \nOn écarte le système par rapport à son état d'équilibre et on le laisse évoluer seul selon un mouvement oscillatoire. On note x, z les abscisses des centres d'inertie respectivement de (A) et (B), et θ l'angle avec lequel les poulies tournent par rapport à l'état d'équilibre. \nDonnées : g = 10 m/s² ; α = 30° ; M₁ = m₁ = 2m ; m₂ = m ; M₂ = 3m ; R₁ = R ; R₂ = 2R ; J_A = M₁R₁² ; J_Δ' = M₂R₂²

\nL'énergie potentielle totale

E_{p}

est : (On admet que l'énergie potentielle de pesanteur totale pour (A) et (B) en tenant compte des données précédentes est :

E_{pp} = - m g z

. La référence de l'énergie potentielle élastique

E_{p e}

est choisie quand le système est à l'état d'équilibre.)

E_{p} = - m g z + \frac{1}{2} k (z - z_{e})^{2}

avec la référence d'énergie potentielle élastique à l'équilibre, soit

E_{p} = \frac{1}{2} k z^{2} - m g z

f r a c 21

f r a c 13

f r a c 22

f r a c 11