Soient $a = i\sqrt{3}$ et $b = \sqrt{3}\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ et soit $\lambda = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $\theta \in ]0, \pi]$ et $r > 0$. Déterminer $r$ et $\theta$ pour que les 3 nombres complexes $a$, $\lambda$ et $b$ soient, dans cet ordre, les 3 termes consécutifs d'une suite géométrique.

$r = \sqrt{3}$, $\theta = \frac{\pi}{3}$

$r = \sqrt{6}$, $\theta = \frac{\pi}{3}$

$r = \sqrt{3}$, $\theta = \frac{2\pi}{3}$

$r = 2\sqrt{3}$, $\theta = \frac{\pi}{3}$

En utilisant l'intégration par parties, calculer l'intégrale suivante : $Q_{10} = \int_0^{\pi} x \cos^4 x \sin x \, dx$

$\frac{2\pi}{5} - \frac{8}{25}$

$x \in ]\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}[$

$x \in ]\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{2}[$

$x \in ]\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}[$

$x \in ]\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}[$

On considère l'équation différentielle :

y^{''} - 4 y^{'} + 20 y = 0

avec

y (0) = 2

\int_{0}^{\infty} y (t) d t = 0

.\nCalculer

y (\frac{π}{2})

. (On donne

\int_{0}^{\infty} e^{a t} sin b t d t = \frac{- b e ^{aπ} c o s ( bπ ) - a e ^{aπ} s i n ( bπ ) - b}{a ^{2} + b ^{2}}

)

- 2 e^{2 π}

- 2 e^{- π}

- 4 e^{π}

+ 2 e^{π}

- 2 e^{π}