Exercice 1 : Soit $u_n$ et $v_n$ les suites réelles définies par : $u_0 = \alpha, v_0 = \beta$ avec $0 $\begin{cases} u_{n+1} = \frac{u_n^2}{u_n+v_n} \\ v_{n+1} = \frac{v_n^2}{u_n+v_n} \end{cases}$ On pose : $x_n = \frac{u_n}{v_n}$ et $y_n = u_n - v_n$ Q1. La suite $(x_n)$ :

Converge vers $\frac{\alpha}{\beta}$

Exercice 3: Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et telle que : $\forall x \in [a, b]$, $f (a + b - x) = f (x)$. Q8. L'intégrale $\int_a^b t f(t)dt =$

$\frac{a+b}{2} \int_a^b f(t)dt$

$\frac{a-b}{2} \int_a^b f(t)dt$

ENSA Mathématiques 2014 - Question 18 of 20

Exercice 6:

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct $(O, i, j)$ ; unité graphique 1cm.
Soit A le point d'affixe $3 i$ . On appelle $f$ l'application qui, à tout point M d'affixe $z$ , distinct de A, associe le point M' d'affixe $z^{'}$ définie par

$z^{'} = \frac{3 i z - 7}{z - 3 i}$

On dit que M est invariant si M=M'.

Q18. On admet que B et C sont tels que

∣ I m (z_{B}) ∣ > ∣ I m (z_{C}) ∣

et on appelle

E

le cercle de diamètre

[B C]

. Soit M un point quelconque de

E

différent de B et de C et M' son image par

f

.
Il existe un réel

θ

tel que l'affixe

z

de M s'écrit

3 i - 4 e^{i θ}

- 3 i - 4 e^{i θ}

3 i + 4 e^{- i θ}

3 i + 4 e^{i θ}