Exercice 1 : Soit $u_n$ et $v_n$ les suites réelles définies par : $u_0 = \alpha, v_0 = \beta$ avec $0 $\begin{cases} u_{n+1} = \frac{u_n^2}{u_n+v_n} \\ v_{n+1} = \frac{v_n^2}{u_n+v_n} \end{cases}$ On pose : $x_n = \frac{u_n}{v_n}$ et $y_n = u_n - v_n$ Q1. La suite $(x_n)$ :

Converge vers $\frac{\alpha}{\beta}$

Exercice 3: Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et telle que : $\forall x \in [a, b]$, $f (a + b - x) = f (x)$. Q8. L'intégrale $\int_a^b t f(t)dt =$

$\frac{a+b}{2} \int_a^b f(t)dt$

$\frac{a-b}{2} \int_a^b f(t)dt$

Exercice 6: Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct $(O,\vec{i},\vec{j})$; unité graphique 1cm. Soit A le point d'affixe $3i$. On appelle $f$ l'application qui, à tout point M d'affixe $z$, distinct de A, associe le point M' d'affixe $z'$ définie par $z' = \frac{3iz - 7}{z - 3i}$ On dit que M est invariant si M=M'. On admet que B et C sont tels que $|Im(z_B)| > |Im(z_C)|$ et on appelle $\mathcal{E}$ le cercle de diamètre $[BC]$. Soit M un point quelconque de $\mathcal{E}$ différent de B et de C et M' son image par $f$. Q20. Le point M'

est à l'intérieur du cercle $\mathcal{E}$

est à l'extérieur du cercle $\mathcal{E}$

appartient au cercle $\mathcal{E}$

est le centre du cercle $\mathcal{E}$

ENSA Mathématiques 2014 - Question 15 of 20

Exercice 5:

Un candidat se présentant à un concours, doit répondre d'une manière successive à une série de questions $(Q_{n})_{n > 0}$ . L'épreuve est présentée en ligne et autre que $Q_{1}$ , l'accès à $Q_{n}$ n'est possible que si le candidat donne une réponse à $Q_{n - 1}$ . On admet que:

la probabilité de donner une bonne réponse à $Q_{1}$ est $0, 1$ .
pour $n > 1$ ;
- si le candidat donne une bonne réponse à $Q_{n - 1}$ , la probabilité de donner une bonne réponse à $Q_{n}$ est $0, 8$ .
- si le candidat donne une mauvaise réponse à $Q_{n - 1}$ , la probabilité de donner une bonne réponse à $Q_{n}$ est $0, 6$ .

On note pour tout entier naturel $n$ non nul, $B_{n}$ l'évènement "L'étudiant donne une bonne réponse à la question $Q_{n}$ " et $P_{n}$ la probabilité de $B_{n}$

Q15. L'étudiant a répondu correctement à la deuxième question, la probabilité qu'il ait donné une mauvaise réponse à la première vaut

\frac{27}{37}

\frac{21}{37}

\frac{27}{31}

\frac{21}{31}