Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on considère la suite : $u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k+n}$ On a $u_n \in I$ avec

$I = \left[0,\frac{1}{3}\right[$

$I = \left]\frac{1}{3},1\right[$

Sachant que $\left(\ln(x+\sqrt{4+x^2})\right)' = \frac{1}{\sqrt{4+x^2}}$, la valeur de l'intégrale $\int_0^1 \sqrt{4+x^2} dx$ est :

$\ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) - \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) - \ln\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$

$\ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) - \frac{5}{2}$

$\ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) + \frac{\sqrt{5}}{2}$

$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{k\pi}{6}, k \in \mathbb{Z}$

La valeur du produit suivant

u_{n} = \prod_{k = 1}^{n} (e^{2^{k}} + e^{- 2^{k}})

\nest :

\frac{e ^{2^{n + 1}} - e ^{- 2^{n + 1}}}{e ^{2} - e ^{- 2}}

\frac{e ^{2^{n + 1}} + e ^{- 2^{n + 1}}}{e ^{2} - e ^{- 2}}

\frac{e ^{2^{n + 1}} - e ^{- 2^{n + 1}}}{e ^{2} + e ^{- 2}}

\frac{e ^{2^{n + 1}} + e ^{- 2^{n + 1}}}{e ^{2} + e ^{- 2}}