Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. La négation de la proposition « $f$ est la fonction nulle » est :

$\forall x \in \mathbb{R}, f(x) > 0$

$\forall x \in \mathbb{R}, f(x) \neq 0$

$\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = 0$

$\exists x \in \mathbb{R}, f(x) \neq 0$

Soient $a$ et $b$ deux réels; la fonction $f$ définie par: $f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1+x) - x}{x^2} & \text{si } x > 0 \\ ax+b & \text{si } x \le 0 \end{cases}$ est continue en 0 ssi

$a \in \mathbb{R} \text{ et } b = 2$

$a = \frac{-1}{2} \text{ et } b = \frac{1}{2}$

$a \in \mathbb{R} \text{ et } b = \frac{-1}{2}$

La dérivée de la fonction $f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt[3]{(x+2)^2} \sqrt{(x+3)^3}}$ est :

$-\frac{5x^2-x-12}{\sqrt{x-1} \sqrt[3]{(x+2)^5} \sqrt{(x+3)^5}}$

$-\frac{3x^2+x-24}{\sqrt{x-1} \sqrt[3]{(x+2)^5} \sqrt{(x+3)^5}}$

$-\frac{2x^2+x-24}{2\sqrt{x-1} \sqrt[3]{(x+2)^5} \sqrt{(x+3)^5}}$

$-\frac{5x^2+x-24}{3\sqrt{x-1} \sqrt[3]{(x+2)^5} \sqrt{(x+3)^5}}$

Soit $f : [0, +\infty[ \to [0, +\infty[$ définie par $f(x) = x e^x$. L'équation de la tangente à la courbe $f^{-1}$ au point d'abscisse $e$ est :

$y = \frac{1}{2e}x + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{e}x + \frac{1}{2}$

$\cos(\pi/16)$ est égal à :

$\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}$

$\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

$\frac{1}{16}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

$\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

La formule algébrique du nombre complexe $\left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2023}$ est :

$\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}$

$-\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}$

La solution $y(x)$ de l'équation différentielle suivante: $y'' + y' + \frac{5}{2}y = 0$, $y(0) = -4$ ; $y'(0) = 6$ est :

$e^{-\frac{x}{2}}\left(-4 \cos\left(\frac{3}{2}x\right) - \frac{8}{3}\sin\left(\frac{3}{2}x\right)\right)$

$e^{-\frac{x}{2}}\left(-4 \cos\left(\frac{3}{2}x\right) + \frac{8}{3}\sin\left(\frac{3}{2}x\right)\right)$

$e^{\frac{x}{2}}\left(-4 \cos\left(\frac{3}{2}x\right) - \frac{8}{3}\sin\left(\frac{3}{2}x\right)\right)$

$e^{\frac{x}{2}}\left(-4 \cos\left(\frac{3}{2}x\right) + \frac{8}{3}\sin\left(\frac{3}{2}x\right)\right)$

Dans un repère orthonormé, on considère le plan P d'équation cartésienne $2x - y - 2z + 2 = 0$, et la sphère d'équation $x^2 - 6x + y^2 + z^2 + 10z - 2 = 0$. Une représentation paramétrique de la droite passant par le centre de la sphère et perpendiculaire au plan P est :

$\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = -t \\ z = -5 - 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$

$\begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = t \\ z = -5 - 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$

$\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = -t \\ z = 5 - 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$

$\begin{cases} x = -3 + 2t \\ y = -t \\ z = -5 - 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$

ENSA Mathématiques 2022 - Question 19/20

La première année du cycle préparatoire d'une ENSA comporte 300 élèves ingénieurs. Ils sont inscrits aux clubs des activités de l'Ecole selon la répartition suivante : 60 au club Cyber Sécurité dont 30% sont des filles, 90 au club Sport dont 60 % sont des filles, et 150 au club Environnement dont 72% sont des filles. Chaque élève-ingénieur(e) pratique une et une seule activité. On choisit au hasard un(e) élève ingénieur(e).\nLa probabilité que l'élève choisi(e) soit une fille est :

A. 0,4

B. 0,5

C. 0,6

D. 0,7