Question 1. Le nombre complexe: $Z = (-1+i\sqrt{3})^{2010} + (-1 - i\sqrt{3})^{2010}$ La valeur de Z est:

$2i\sin(\frac{2\pi}{3})\exp(i\frac{4\pi}{3})$

$2\cos(\frac{4\pi}{3})\exp(i\frac{2\pi}{3})$

Question 4. On note $S$ l'ensemble des points du plan complexe $M$ dont l'affixe $z$ vérifie $|z-3| = \frac{\sqrt{2}}{2}|z-5|$. Alors:

$S =$ le cercle de centre $(1,0)$ et de rayon $2\sqrt{2}$

$S =$ le cercle de centre $(0,1)$ et de rayon $\frac{1}{2}$

Question 9. Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par l'équation $u_0 = 1$ $u_{n+1} = \frac{u_n}{1+2u_n}, \quad \forall n \ge 0$. En considérant la suite $v_n = \frac{1}{u_n}$, on trouve:

$\lim_{n \to +\infty} n u_n = 0$

$\lim_{n \to +\infty} n u_n = 1$

$\lim_{n \to +\infty} n u_n = \frac{1}{2}$

$\lim_{n \to +\infty} n u_n = \frac{1}{4}$

Question 15. La valeur de l'intégrale $I = \int_0^{\sqrt{3}} x^2 \ln(x^2 + 1)dx \quad (5)$ est:

$I = \sqrt{3}\ln(2) - \frac{\pi}{9}$

$I = \sqrt{3}\ln(2) + \frac{\pi}{9}$

$I = 2\left(\sqrt{3}\ln(2) - \frac{\pi}{9}\right)$

Question 17. Dans l'espace $\mathbb{R}^3$ rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$, on considère le plan $(P)$ d'équation $2x - 5y - 6z + 4 = 0$ et $(S)$ la sphère de centre $\Omega(2; -2; 3)$ et de rayon 3, alors:

$(P)$ coupe $(S)$ suivant un cercle de rayon 3 et de centre $\Omega$

$(P)$ coupe $(S)$ suivant un cercle de rayon 3 et de centre le point de coordonnées $(2; 2; 3)$

$(P)$ est tangent à $(S)$ au point de coordonnées $(2; 2; 3)$

$(P)$ est tangent à $(S)$ au point de coordonnées $(2; 0; -3)$

ENSA Mathématiques 2025 - Question 19 of 20

Question 19. Une usine fabrique des composants électroniques et dispose d'une machine pour tester s'ils sont défectueux ou non. Les résultats sont comme suit:

Si le composant est défectueux: la machine le détecte dans 90% des cas et dans 10% des cas elle échoue.
Si le composant n'est pas défectueux: la machine l'indique correctement dans 99% des cas et elle échoue dans 1% des cas.

\nOn tire au hasard un composant dans une large population où l'on sait que 0.1% des composants sont défectueux, et on note

p

la probabilité qu'un composant tiré au hasard soit détecté défectueux par la machine.
Alors

p =

p = 1.041%

p = 1.089%

p = 1.025%

p = 1%