On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = x - \frac{(\ln(x))^2}{x}$

$f' = 1 + \frac{2\ln(x)-(\ln(x))^2}{x^2}$

$f' = 1 - \frac{2\ln(x)-(\ln(x))^2}{x^2}$

$f' = -1 + \frac{2\ln(x)-(\ln(x))^2}{x^2}$

$f' = -1 - \frac{2\ln(x)-(\ln(x))^2}{x^2}$

$f' = 1 + \frac{2\ln(x)+(\ln(x))^2}{x^2}$

On considère la fonction $g$ définie par : $g(x) = \frac{x^2+1}{x+1}$. Déterminer le point $x_0$ où la tangente à $C_g$ est parallèle à la droite d'équation $y=x$.

$x_0=\emptyset$ (ensemble vide)

Soit $z = \frac{(1-i)^{10}}{(1+i\sqrt{3})^4}$. Quelle est la bonne réponse ?

$\arg z = \frac{\pi}{6} \ [2\pi]$

$\arg z = \frac{3\pi}{2} \ [2\pi]$

$\arg z = \frac{\pi}{2} \ [2\pi]$

Soient $z_1$, $z_2$, et $z_3$ trois nombres complexes distincts ayant le même cube, c'est-à-dire $(z_1)^3=(z_2)^3=(z_3)^3$. Quelles sont les valeurs possibles de $z_1$, $z_2$, et $z_3$ ?

$z_1=1, z_2=\omega, z_3=\omega^2$ où $\omega=e^{i\frac{2\pi}{3}}$

$z_1=1, z_2=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}, z_3=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$z_1=1, z_2=-\omega, z_3=-\omega^2$ où $\omega=e^{i\frac{2\pi}{3}}$

Soit $U_n = \ln(1+ne^{-n})$, $n \in \mathbb{N}$. Quelle est la bonne réponse ?

$\lim_{n \to +\infty} U_n = +\infty$ ;

$\lim_{n \to +\infty} U_n = 1$ ;

La suite $(U_n)$ est divergente ;

Soit (E) l'équation : $x^x = (\sqrt{x})^{x+1}$. Quelle est la bonne réponse ?

L'équation (E) n'admet pas de solution.

Soit $f(x) = \left(1+\frac{1}{x}\right)^x$. Quelle est la bonne réponse ?

$D_f = ]-\infty, -1[ \cup ]0, +\infty[$

Soit $f(x) = x\sin(\pi x) - \ln(x) - 1$ définie sur $]0,1]$. Quelle est la bonne réponse ?

Il existe $c \in ]0,1]$ tel que $f(c) = 0$ ;

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$

Médecine Mathématiques 2024 - Question 7 of 14

On suppose que 2000 personnes ont envoyé un SMS dans le cadre d'un mini-jeu télé qui consistait à répondre à une question à 2 choix. La société qui gère ce "jeu-SMS" sélectionne 30 SMS au hasard parmi les 2000. On note

Ω

l'ensemble de tous les sous-ensembles de 30 SMS (distincts). Combien d'éléments contient-il ?

A_{2000}^{30}

C_{2000}^{30}

1970

\frac{2000 !}{30 !}

2000